Nous avons pu conjecturer (voir introduction), que dans un triangle [math]ABC[/math] rectangle en [math]A[/math] nous avons :[br][br][math]AB^2+AC^2=BC^2[/math][br][br]Cela signifie que si nous construisons un carré de coté [math]\left[AB\right][/math] et un carré de coté [math]\left[AC\right][/math] nous aurons la somme de leurs aire égale à l'aire d'un carré de coté [math]\left[BC\right][/math].[br][br]De nombreuses démonstrations du théorème de Pythagore on été proposées.[br][br]La démonstration présentée ici est purement géométrique.[br][br]Construisons donc les carrés [math]ACFG[/math] et [math]ABIH[/math] extérieurs au triangle [math]ABC[/math], ainsi que le carré [math]BCDE[/math] qui inclut le triangle [math]ABC[/math].[br][br]On nomme [math]N[/math] le point d'intersection des droites [math](FG)[/math] et [math](HI)[/math].

Par hypothèse, nous avons [math]\left(CF\right)\perp\left(CA\right)[/math] et [math]\left(CB\right)\perp\left(CD\right[/math], donc [math]\widehat{FCD}=\widehat{ACB}[/math] .[br][br]Or [math]FC=AC[/math] et [math]CB=CD[/math], les triangles [math]ABC[/math] et [math]FCD[/math] sont donc semblables et [math]FCD[/math] est rectangle en [math]F[/math].[br][br]Les points [math]F[/math], [math]G[/math], [math]D[/math] et [math]N[/math] sont donc alignés et [math]DN=AC[/math]. En effet, [math]FCHN[/math] est un rectangle et [math]FN=AC+AB[/math].[br][br]Nous pouvons prouver de la même manière que les points [math]I[/math], [math]E[/math], [math]H[/math] et [math]N[/math] sont alignés et que [math]EN=AB[/math].[br][br]Le triangle [math]NED[/math] est donc rectangle en [math]N[/math] et semblable au triangle [math]ABC[/math].

L'aire d'un parallélogramme ne dépend que de la longueur d'un de ses cotés et de la hauteur associée (voir [url=https://tube.geogebra.org/student/b1633587#material/1632351]Aires des figures usuelles[/url]).[br][br]Ainsi, si nous construisons un parallélogramme [math]ACKL[/math] avec [math]K\in(FG)[/math], nous aurons :[br][math]Aire(ACKL)=Aire(ACFG)=AC^2[/math][br][br]De même, si nous construisons un parallélogramme [math]ABJM[/math] avec [math]J\in(IH)[/math], nous aurons :[br][math]Aire(ABJM)=Aire(ABIH)=AB^2[/math]

Observons ce qui se passe si les points [math]K[/math] et [math]D[/math] sont confondus et que les points [math]J[/math] et [math]E[/math] sont confondus :[br][br]Les points [math]L[/math], [math]M[/math] et [math]N[/math] sont confondus et [math]ACDNEB[/math] forment un hexagone dont nous connaissons l'aire :[br][math]Aire\left(ACDNEB\right)=Aire\left(ACFG\right)+Aire\left(ABIH\right)[/math][br][br]Nous avons donc :[br][math]Aire\left(ACDNEB\right)=AB^2+AC^2[/math]

D'autre part nous avons :[br][br][math]Aire\left(ACDNEB\right)=Aire\left(EDN\right)+Aire\left(ABED\right)-Aire\left(ABC\right)[/math][br][br]Or, les triangles [math]NED[/math] et [math]ABC[/math] sont semblables, [math]Aire\left(EDN\right)=Aire\left(ABC\right)[/math][br][br]Nous avons donc [math]Aire\left(ACDNEB\right)=Aire\left(ABC\right)+Aire\left(ABED\right)-Aire\left(ABC\right)[/math][br][br]Soit [math]Aire\left(ACDNEB\right)=Aire\left(ABED\right)=BC^2[/math][br][br]Or [math]Aire\left(ACDNEB\right)=AB^2+AC^2[/math][br][br]Nous avons donc, finalement :[br][br][math]AB^2+AC^2=BC^2[/math][br][br]Le théorème de Pythagore est ainsi démontré.[br][br]