[b]Esta sequência de atividades foi desenvolvida na tentativa de facilitar o aprendizado dos conceitos acerca de derivadas de funções de uma variável. Sinta-se livre para percorrer este material no seu ritmo![/b]

[color=#ff0000] [b]Neste material, não irei me aprofundar nos métodos e regras de derivação, uma vez que o objetivo deste é contextualizar e mostrar os conceitos que envolvem a derivada de uma maneira interativa e visual.[/b][/color]

[b] Observe o gráfico a seguir:[/b]

[size=150][color=#9900ff]Observe que é possível alterar os valores da "a" e "b". Para tal, basta arrastar os controles deslizantes correspondentes. Mova os controles deslizantes e observe o que acontece com a reta no gráfico.[/color][br] A partir dessas observações, responda:[/size]

[size=150][b]Observe o gráfico da função[/b] [math]g\left(x\right)=2x-1[/math]:[/size]

[size=150] Responda com as suas palavras:[/size]

[size=150] Em uma função afim, ou seja, uma função do tipo [math]f\left(x\right)=ax+b[/math], faz sentido falarmos de inclinação, pois o gráfico da função é uma reta. No entanto, quando tratamos de outras funções, não podemos falar diretamente de inclinação.[br] A inclinação é um forte indicador para sabermos se uma função é crescente ou decrescente. Mas, se não podemos falar diretamente de inclinação em outros tipos de função, como determinamos se elas são crescentes ou decrescentes?[/size]

[size=150][b] Observe, a seguir, o gráfico da função[/b][/size] [math]f\left(x\right)=3x^3-x[/math]:

[b] [size=150]Observe que a função é crescente (sobe) e decrescente (desce) em diferentes intervalos.[br][/size][/b]

[size=150]Observe, a seguir, o gráfico da mesma função, mas, dessa vez, observe que traçamos uma reta tangente ao gráfico em diferentes valores de [math]x[/math]. Para alterar a posição da reta tangente, clique e arraste o "x" que está sobre o eixo x.[/size]

[size=150][b]Após interagir com o gráfico acima, responda:[/b][/size]

[size=150] Observamos, anteriormente, que o gráfico de uma função do tipo [math]f\left(x\right)=ax+b[/math] é uma reta. Além disso, observamos que o coeficiente "a" dessa função determina se a função é crescente (sobe) ou decrescente(desce).[br] Observando que o comportamento de uma reta tangente à uma função [math]g\left(x\right)[/math] nos diz sobre o comportamento da própria [math]g\left(x\right)[/math][/size], [size=150]seria interessante determinar qual é o coeficiente "a" dessa reta tangente.[br] Antes disso, observe no gráfico a seguir uma das formas de obter a equação de uma reta no plano cartesiano:[/size]

[size=150] Note que, ao desenvolver a equação em destaque, o coeficiente que acompanhará a variável [math]x[/math] será [math]tan\left(\Theta\right)[/math]. E que esse valor pode ser expresso como [math]tan\left(\Theta\right)=\frac{\Delta y}{\Delta x}[/math], onde [math]\Delta y=y-y_1[/math] é a variação em y e [math]\Delta x=x-x_1[/math] é a variação em x.[br] Então, se temos uma reta determinada pela função [math]f\left(x\right)=ax+b[/math], podemos dizer que [math]a=tan\left(\Theta\right)[/math] ou [math]a=\frac{\Delta y}{\Delta x}[/math].[/size]

[size=150]Vamos voltar para o gráfico da função[/size] [math]f\left(x\right)=3x^3-x[/math][size=150]. Agora, vamos tentar obter a reta tangente (em verde) em um ponto fixo[/size][size=150] [math]\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)[/math].[/size] [size=150]Mova o "x" que está sobre o eixo x.[/size]

[size=150][b]Note que, à medida que um ponto se aproxima do outro, a reta roxa se aproxima da reta tangente. Quando um ponto sobrepõe o outro, as retas se sobrepõem. Voltando ao que estávamos tratando: qual é o coeficiente "a" da reta roxa?[/b][/size]

[size=150] Para calcular o coeficiente, basta lembrar que [math]a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y-y_1}{x-x_1}[/math].[br] Neste caso, teremos que:[br][br][center][math]a=\frac{f\left(x\right)-f\left(x_1\right)}{x-x_1}[/math][br][/center][/size]

[size=150] Para obter a reta tangente, basta que o ponto [math]\left(x,f\left(x\right)\right)[/math] sobreponha o ponto [math]\left(x_1,f\left(x_1\right)\right)[/math]. Ou seja, basta que [math]x=x_1[/math]. Mas teríamos um problema se substituíssemos diretamente:[br][br][/size][center][math]a=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_1\right)}{x_1-x_1}=\frac{0}{0}\Rightarrow INDETERMINAÇÃO[/math] [br][/center]

[size=150] Para que lidemos com este problema, teremos, então, que usar de limites! Ou seja, em vez de dizer que [math]x=x_1[/math], vamos dizer que [math]x[/math] tende a [math]x_1[/math]. Desta forma:[br][br][center][/center][/size]

[size=150] Dizemos que este limite representa a [b]derivada da função [math]f\left(x\right)[/math] quando [math]x=x_1[/math]. E denotamos por [math]f'\left(x_1\right)[/math]. Ou seja:[/b][/size]

[size=150] Sabendo disso, podemos afirmar que:[br][list][*]Se [math]f'\left(x_1\right)>0[/math], então [math]a>0[/math] e [math]f\left(x\right)[/math] é crescente em [math]x=x_1[/math];[/*][*]Se [math]f'\left(x_1\right)<0[/math], então [math]a<0[/math] e [math]f\left(x\right)[/math] é decrescente em [math]x=x_1[/math];[/*][*]Se [math]f1\left(x_1\right)=0[/math], então [math]a=0[/math] e [math]f\left(x\right)[/math] não é crescente, nem decrescente e dizemos que tem um ponto crítico em [math]x=x_1[/math] .[/*][/list][/size]

[size=150]Existe uma outra forma de representar o limite acima, que facilita para encontrarmos a derivada de uma função de uma forma geral. Para encontrá-la basta fazer uma pequena alteração no limite:[br] Primeiro, vamos dizer que [math]x-x_1=h[/math]. Desta forma, temos que [math]x=x_1+h[/math]. Lembrando que [math]x\rightarrow x_1[/math][/size], então [math]h\rightarrow0[/math]. Assim, temos: