[right][size=50][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. [color=#ff7700][b](Oktober 2019)[br][/b][/color][/size][/size][size=85][size=50][size=50][color=#ff7700][color=#000000]Kapitel: [color=#0000ff]"[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/409348][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/url][/color]"[/color][/color][/size][/size][/size][/right][size=85]Diese Namensgebung ist reines Privatvergnügen, wahrscheinlich wird man Suchmaschinen vergeblich zur Aufklärung bemühen! [br]Auf den Seiten dieses Kapitels über "[color=#980000][i][b]Spezielle komplexe Funktionen[/b][/i][/color]" wollten wir die [color=#0000ff][i][b]geometrische Wirkungsweise[/b][/i][/color] einiger Standard-Funktionen der komplexen Analysis durch ihre Bilder des Standard-Kurvennetzes der [math]z[/math]-Ebene - [i][b][color=#980000]Parallelen[/color][/b][/i] zur [math]x[/math]- und [color=#00ffff][i][b]Parallelen[/b][/i][/color] zur [math]y[/math]-Achse - in der [math]w[/math]-Ebene veranschaulichen.[br]Diese Standard - Parallelen-Scharen sind [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i][/color] ein [color=#ff7700][i][b]parabolisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] und sein [color=#ff7700][i][b]polares orthogonales Kreisbüschel[/b][/i][/color].[br]Unsere generelle Fragestellung für dieses Kapitel lautet: wie bilden [color=#0000ff][i][b]konforme Funktionen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] ab![br][list][*]Die komplexe [math]e[/math]-Funktion bildet das oben angeführte [color=#ff7700][i][b]Parallelen-Büschel[/b][/i][/color] einfach periodisch auf die [color=#00ffff][i][b]konzentrischen Kreise[/b][/i][/color] um den Ursprung und die dazu [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Ursprungsstrahlen[/b][/i][/color] ab: aus dem [color=#ff7700][i][b]parabolischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit [math]\infty[/math] als Büschelpunkt wird ein [color=#ff7700][i][b]hyperbolisch-elliptisches Kreisbüschel[/b][/i][/color] mit 0 und [math]\infty[/math] als Büschelpunkten! Siehe auch die Seiten über die [b][/b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/weqgszna][b]exp[/b]-Funktion[/url], bzw. die [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/mumzzsxu][b]tan[/b]-Funktion[/url].[br][/*][*]Mit Hilfe von Möbiustransformationen und der [math]e[/math]-Funktion kann man also jedes [color=#ff7700][i][b]parabolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] auf jedes [color=#ff7700][i][b]elliptisch-hyperbolische Kreisbüschel[/b][/i][/color] abbilden![br][/*][*]Mit der [color=#9900ff][i][b]natürlichen Logarithmus-Funktion[/b][/i][/color] kann man dies teilweise umkehren![br][/*][*]Die Funktion [math]\mathbf{Cas}\left( z \right) :=\sqrt{\exp\left( z \right)+1}[/math] bildet das parabolische Kreisbüschel [math]z=x+i\cdot y[/math] zuerst auf das hyperbolisch-elliptische Kreisbüschel um 1 ab: [math]z\mapsto u=\exp\left(z\right)+1[/math] und anschließend werden die Kreise und Strahlen des Büschels abgebildet auf die [color=#00ffff][i][b]CASSINI-Kurven[/b][/i][/color] um die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] +1, -1 und deren Orthogonalkurven, das sind gleichseitige [color=#ff0000][i][b]Hyperbeln[/b][/i][/color]![/*][*][color=#ff00ff][u][i]Generell[/i][/u][/color]: die komplexe [color=#9900ff][i][b]Wurzel-Funktion[/b][/i][/color] bildet Kreise und Geraden auf [i][b]CASSINI-Kurven[/b][/i] ab (einteilige, zweiteilige, auf [b]BERNOULLI[/b]-Lemniskaten, auf rechtwinklige Hyperbeln, und manchmal auch wieder auf einen Teil eines Kreises, oder auf 2 orthogonale Strahlen). Siehe auch "[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/qc3ge84z]Kreisbüschel wurzeln[/url]"![/*][*]Die [b]CASSINI[/b]-Kurven sind (von den Sonderfällen abgesehen!) die [color=#cc0000][i][b]multiplikativen[/b][/i][/color] Pendants der [color=#cc0000][i][b]additiven[/b][/i][/color] Gärtner-Konstruktions-Ellipsen: sie genügen einer Gleichung des Typs [math]\left|z-f\right|\bullet\left|z+f\right|=const[/math]. [br]Hier sind [math]\pm 1[/math] die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]\pm f[/math]! Das Bild oben zeigt aber keine "[color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color]" [b]CASSINI[/b]-Kurven: [b]CASSINI[/b]-Kurven sind bizirkulare Quartiken, diese besitzen 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]; der 3. und 4. [color=#38761D][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] ist bei den [b]CASSINI[/b]-Kurven oben für je 2 Kurven verschieden! [size=50][br]Nebenbei: in einem Netz von [color=#ff7700][i][b]konfokalen bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] mit 4 verschiedenen [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] liegen nur 2 [b]CASSINI[/b]-Kurven![/size][br]Die zugehörigen Funktionen sind doppelt-periodische [color=#9900ff][i][b]elliptische Funktionen[/b][/i][/color], die in [b]Ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]Gebra[/b] nicht implementiert sind.[/*][*][color=#ff7700][i][b]Konfokale Kegelschnitte[/b][/i][/color] erhält man mit [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/km7fmdur]den Funktionen[/url] [math]z\mapsto w=z^2[/math], bzw. [math]z\mapsto w=\cos\left(z\right)[/math]. [br][/*][/list][/size][size=85]Die [color=#9900ff][i][b]Wurzel-Funktion[/b][/i][/color] bildet die [math]z[/math]-Ebene auf die rechte Hälfte [math]x\ge0[/math] der [math]w[/math]-Ebene ab, dies sieht man am ehesten in Polarkoordinaten: für [math]z=\rho\cdot e^{i\varphi}[/math], [math]-\pi\le\varphi\le\pi[/math] ist [math]\sqrt{z}=\sqrt{\rho\cdot e^{i\varphi} }=\sqrt{\rho}\cdot e^{i\frac{\varphi}{2}}[/math]. Um die ganz [math]w[/math]-Ebene auszufüllen, muss man sich die [math]z[/math]-Ebene um eine [color=#274E13][i][b]Überlagerung[/b][/i][/color] [math]z=\rho\cdot e^{i\varphi}[/math], [math]+\pi\le\varphi\le 3\pi[/math] erweitert denken![br][br]Die [b]CASSINI[/b]-Kurven besitzen eine weitere interessante Eigenschaften, die man als [color=#0000ff][i][b]möbiusgeometrische[/b][/i][/color] Verallgemeinerung des [color=#0C343D][i][b]Peripheriewinkel-Satzes[/b][/i][/color] bezeichnen kann![br][br][/size][list][*][size=85]Der Ort, in welchem sich die [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] zweier [color=#ff7700][i][b]Geradenbüschel[/b][/i][/color] unter [i][b]konstantem[/b][/i] Winkel schneiden, ist ein Kreis durch die beiden Büschelpunkte: der [color=#0000ff][i][b]Umfangswinkel-Kreis[/b][/i][/color].[/size][/*][*][size=85]Der Ort, in welchem sich die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zweier [color=#ff7700][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color] unter [i][b]konstantem[/b][/i] Winkel schneiden, ist eine [b]CASSINI[/b]-Kurve durch die Büschelpunkte der beiden [color=#ff7700][i][b]Kreisbüschel[/b][/i][/color]![/size][/*][*][size=85]Der Ort, in welchem sich die [color=#ff0000][i][b]W-Kurven[/b][/i][/color] zweier [color=#ff7700][i][b]W-Kurvenscharen[/b][/i][/color] berühren, ist eine [b]CASSINI[/b]-Kurve.[/size][/*][/list][size=85][br][color=#ff0000][i][b]W-Kurven[/b][/i][/color] sind die Bahnen einer Ein-Parameter-Untergruppe der zugrundeliegenden Bewegungsgruppe, hier ist dies die Gruppe der [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color]. Die zuletzt genannten Sachverhalte werden in diesem [color=#980000][i][b]Ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon]Gebra-book[/b][/i][/color] im Kapitel [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/168948]Berührorte oder [b]CASSINI[/b]-Kurven[/url] genauer beleuchtet.[/size]