In der [i][b]euklidischen Ebene[/b][/i] ist eine [i][b]Winkelhalbierende[/b][/i] zweier sich schneidenden Geraden eine Gerade, an welcher die beiden gegebenen Geraden gespiegelt vertauscht werden. Es gibt immer zwei Winkelhalbierende; diese sind immer zueinander orthogonal. Die [i][b]Spiegelung[/b][/i] an einer Winkelhalbierenden in einem Dreieck vertauschen jeweils die beiden Seiten durch einen Eckpunkt und lassen diesen fest. Die beiden anderen Eckpunkte werden nur im Falle eines [i][b]gleichschenkligen[/b][/i] Dreiecks durch diese Spiegelung vertauscht.[br][br]Für zwei [i][b]sich schneidende[/b][/i] [color=#0000ff][i][b]Kreise[/b][/i][/color] auf der Kugel gibt es genau zwei, zueinander orthogonale [color=#ff0000][i][b]Winkelhalbierenden-Kreise[/b][/i][/color] durch die Schnittpunkte.[br]Die dazugehörigen[i][b] Kreis-Spiegelungen[/b][/i] vertauschen die beiden gegebenen [color=#0000ff][i][b]Kreise[/b][/i][/color]. [br]Die gegenüberliegende Dreieck-Seite ist nur dann invariant, wenn der Winkelhalbierenden-Kreis orthogonal zu dieser Dreiecks-Seite ist.[br]([size=85]Siehe die Seite [url=https://www.geogebra.org/m/efbe93k6#material/zgs8uuey]Symmetriekreise von 2 Kreisen[/url][/size]).[br][br][right][color=#980000][size=50]Diese Seite ist eine Aktivität des [b]geogebra-books[/b] [url=https://www.geogebra.org/m/efbe93k6]kugel-dreiecke[/url] (August 2018)[/size][/color][/right]

Die [color=#1e84cc][i][b]Dreiecksseiten[/b][/i][/color] des obigen Kugeldreiecks sind Teile von 3 [b][color=#0000ff][i]Kreisen[/i][/color][/b]. Zwei Kreise besitzen genau 2 zueinander orthogonale Kreise als [color=#ff0000][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color]. Das Dreieck besitzt [b]6[/b] Winkelhalbierende, die sich im besten Falle zu je dreien in [b]8[/b] [color=#ff0000][i][b]Punkten[/b][/i][/color] schneiden. Durch Veränderung der Lage der drei Kreise können jedoch auch ganz andere Bilder entstehen: man bewege die [color=#00ff00][i][b]Dreieckspunkte[/b][/i][/color] ([color=#00ff00][i][b]große grüne Punkte[/b][/i][/color]) und ändere die [color=#0000ff][i][b]Kreise[/b][/i][/color] ([color=#00ff00][i][b]kleine grünen Punkte[/b][/i][/color]). Die [color=#0000ff][i][b]blauen[/b][/i][/color] Punkte legen die [color=#00ffff][i][b]Dreiecksseiten[/b][/i][/color] fest.[br]Im Applet [i][b]unten[/b][/i] kann man die Möglichkeiten in der Ebene erkunden. Die Punkte [color=#00ffff][i][b]A[/b][/i][/color] und [color=#00ffff][i][b]B[/b][/i][/color] und der [color=#0000ff][i][b]Kreis[/b][/i][/color] durch [color=#00ffff][i][b]AB[/b][/i][/color] sind fix. Beweglich ist die Dreiecksecke [color=#00ffff][b]C[/b][/color]. Die [color=#0000ff][i][b]Kreise[/b][/i][/color] durch [color=#00ffff][b]A[/b][/color] und [color=#00ffff][b]C[/b][/color], bzw. durch[b] [color=#00ffff]B[/color][/b] und [color=#00ffff][b]C[/b][/color] kann man mit den Punkten [b][color=#6aa84f]AC[/color][/b] bzw. [b][color=#6aa84f]BC[/color][/b] festlegen. Die Dreiecksseiten können sich in [color=#00ffff][b]C[/b][/color] berühren oder sich sogar zwischen den Eckpunkten überschneiden!! Dabei können Winkelhalbierenden-Schnittpunkte verschwinden oder zusammenfallen.[br]In der Regel liegen die Dreieckspunkte [i][b]nicht symmetrisch[/b][/i] zu den Winkelhalbierenden. Symmetrien liegen nur dann vor, wenn [color=#ff0000][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] orthogonal zur gegenüberliegenden [color=#00ffff][i][b]Dreiecksseite[/b][/i][/color] liegen. Die zugehörigen [color=#6aa84f][b]Winkel[/b][/color] sind dann gleich.[br]In der [b]3D[/b]-Ansicht kann man dies an dem [i][b]8-Eck[/b][/i] aus den Winkelhalbierenden-Schnittpunkten auf der Kugel und ihren Diagonalen beobachten: bei Symmetrien liegen die zusammengehörenden Diagonalen in einer Ebene.

[color=#980000][i][b][size=150]Symmetrieen[/size][/b][/i][/color][br][br]Ist eine [color=#ff0000][i][b]Winkelhalbierende[/b][/i][/color] [i][b]orthogonal[/b][/i] zur gegenüberliegenden [color=#00ffff][i][b]Dreiecks-Seite[/b][/i][/color], so läßt die Spiegelung an der Winkelhalbierenden die gegenüberliegende Dreiecks-Seite invariant, die beiden [color=#00ff00][i][b]Eckpunkte[/b][/i][/color] und die anliegenden [color=#00ffff][i][b]Dreiecks-Seiten[/b][/i][/color] werden vertauscht.[br]Wir nennen in Analogie zu ebenen Dreiecken diese Kreisdreiecke [i][b]gleichschenklig[/b][/i]: zwei Seiten sind "isomorph" - sie werden durch eine Kreisinversion vertauscht.[br]Im Applet [i][b]links unten[/b][/i] kann man ausprobieren, welche Möglichkeiten hiebei auftreten können. [br]Die Punkte [color=#00ff00][b]A[/b][/color], [color=#00ff00][b]B[/b][/color] und [b]M[sub]c[/sub][/b] sind fix, [color=#00ff00][b]C[/b][/color] läßt sich auf der Senkrechten bewegen, die Kreiswinkel werden durch [color=#6aa84f][b]AC[/b][/color] beeinflusst.

Das [color=#00ffff][i][b]Kugeldreieck[/b][/i][/color] unten ist besonders symmetrisch: es ist [i][b]dreifach rechtwinklig[/b][/i]: [math]\alpha=\beta=\gamma=90°[/math]. Die [color=#ff0000][i][b]Winkelhalbierenden-Schnittpunkte[/b][/i][/color] sind die Ecken eines [color=#00ffff][i][b]Würfels[/b][/i][/color], die Schnittpunkte der [color=#0000ff][i]Dreiecksseiten-Kreise[/i][/color] bilden ein [color=#ff00ff][i][b]Oktaeder[/b][/i][/color]. In den [color=#ff0000][i][b]Winkelhalbierenden-Schnittpunkte [/b][/i][color=#000000]schneiden sich die [color=#ff0000][i]Winkelhalbierenden[/i][/color] unter Vielfachen von 60°.[br]4 der [/color][/color][color=#ff0000][i][b]Winkelhalbierenden-Schnittpunkte[/b][/i][color=#000000], geeignet gewählt, bilden einen [color=#6aa84f][i][b]Tetraeder[/b][/i][/color]. Je 3 der [color=#ff0000][i][b]Tetraeder-Punkte[/b][/i][/color] bilden ein symmetrisches Kugeldreieck mit [math]120°[/math] - Innenwinkeln. [/color][/color]

In obigem Applet ist der [b]3D[/b]-Mittelpunkt der Kugel auch der Mittelpunkt von [b]Würfel[/b], [b]Okaeder[/b] und [b]Tetraeder[/b]. Das erleichtert die Konstruktionen.[br]Es könnte aber auch jeder andere Punkt im Inneren der Kugel als Mittelpunkt der Figuren gewählt werden. [br]Da [i][b]Möbiustransformationen[/b][/i] kreis- und winkeltreu sind, ergäben sich isomorphe Bilder, jedoch nicht im euklidischen Sinne!