Funções: Afim, Quadrática, Exponencial e Logarítimica.
Funções: Afins, Quadráticas, Exponencias e Logarítmicas.
Table of Contents
- Função Afim
- Situação Inicial
- Análises e manipulações das funções afins no Geogebra.
- Problemas sobre função afim
- Função Quadrática
- Função Quadrática
- Análises e manipulações das funções quadráticas no Geogebra.
- Problemas sobre função quadrática
- Função Exponencial
- Situação Inicial
- Análises e manipulações das funções exponenciais no Geogebra.
- Problemas sobre função exponencial
- Função Logarítimica
- Situação inicial
- Análises e manipulações das funções logarítmicas no Geogebra.
- Problemas sobre função logarítmica
Situação Inicial
[justify] João trabalha em uma loja e recebe um salário fixo de R$ 1500,00 e recebe uma comissão de 8% (0,08) sobre o total de vendas que realiza durante o mês. Assim, seu salário pode ser calculado da seguinte maneira: [br]Salário= 1500 + 0,08. ( total de vendas do mês)[br] Desta forma, o Salário do João é obtido em função de sua venda mensal e se representarmos essas vendas por x, obtemos: [/justify][center]s(x)= 1500+0,08x[/center][center]Fazendo s(x)=y, podemos escrever a função:[br]y=0,08x+1500[br][/center] Observe que existe uma parte fixa (que não depende do valor de x) e uma parte variável . E chamando a parte variável de a e a fixa de b, obtemos:[br][center]y=ax+b[/center]
Definição de Função Afim
Uma função [math]f\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}[/math]chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x)= ax+b para todo x[math]\in\mathbb{R}[/math].[br][br]Exemplos de funções afins e seus respectivos coeficientes:[br]a) f(x)= 2x+4 (a=2 e b=4)[br]b) f(x)= -x+0,5 (a=-1 e b=0,5)[br]c) f(x)= -0,3x+5 (a=-0,3 e b=5)[br]d) f(x)= 2/3x-1/5 (a=2/3 e b=-1/5)[br]e) f(x)= 5x (a=5 e b=0)[br]e) f(x)= 6 (a=0 e b=6)
Função Quadrática
Situação Inicial
João vai participar de um campeonato de futebol, onde cada time vai jogar duas vezes com o outro, ou seja, um campeonato de turno e returno. Observe na tabela abaixo, que o número de partidas (p) é dada em função do número de clubes (n).[br][br][table] [tr] [td][br] Número[br] de clubes (n)[br] [/td] [td][br] 2[br] [/td] [td][br] 3[br] [/td] [td][br] 4[br] [/td] [td][br] 5[br] [/td] [td][br] n[br] [/td] [/tr] [tr] [td][br] Número[br] de partidas (p)[br] [/td] [td][br] 2(2-1)=2[br] [/td] [td][br] 3(3-1)=6[br] [/td] [td][br] 4(4-1)=12[br] [/td] [td][br] 5(5-1)=20[br] [/td] [td][br] n(n-1)[br] [/td] [/tr][/table][br][br] Desta forma, obtemos: [br][br]p(n)= n(n-1)[br][br]Fazendo p(n)=y e n=x, podemos escrever a função: y=x²-x[br][b][br][size=100] [size=150]Definição de Função Quadrática[/size][/size][/b][br][br]Uma função [math]f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}[/math] chama-se função quadrática quando existem dois números reais a, b e c , com a≠ 0, tal que f(x)= ax²+bx+c para todo x[math]\in\mathbb{R}[/math]. [br]Exemplos: [br]a) f(x)= x²-x, em que a=1, b=-1 e c=0[br]b) f(x)=2x²-3x-1, em que a=2, b=-3 e c=-1[br]c) f(x)=x²-4, em que a=1, b=0 e c=-4[br]d) f(x)= 5x², em que a=5, b=0 e c=0 [br]Observe que não são funções quadráticas:[br]e) f(x)=4[sup]x[/sup][br]f) f(x)= 5x[img width=17,height=20]file:///C:/Users/CLIO~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.png[/img][br]g) f(x)= x³-2x²+3x-2[img width=17,height=20]file:///C:/Users/CLIO~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image010.png[/img][br][br][br][br][br]
Situação Inicial
[justify]João comprou um videogame e vai pagar em dez parcelas. Se fosse pagar à vista iria para R$ 2.000,00, mas como parcelou, a loja vai cobrar juros de 10% ao mês. Qual é o valor de cada parcela?[br]Os juros a pagar no primeiro mês é 2000.10%=2000.0,1= 200. Assim o montante referente a esse mês é de 2200.[br]Sendo M o montante, C o Capital e i a taxa de juros, temos:[br]M[sub]1[/sub]=C+iC= C(1+i)[br]Os juros a pagar no segundo mês é 2200.10%=2200.0,1= 220. Assim o montante referente a esse mês é 2200+220=2420.[br]Sendo M o montante, C o Capital e i a taxa de juros, temos:[br]M[sub]2[/sub]=M[sub]1[/sub]+iM[sub]1[/sub]= M[sub]1[/sub](1+i)= C(1+i).(1+i)=C(1+i)[sup]2[/sup] [br]Os juros a pagar no terceiro mês é 2420.10%=2420.0,1= 242. Assim o montante referente a esse mês é 2420+242=2662.[br]Sendo M o montante, C o Capital e i a taxa de juros, temos:[br]M[sub]3[/sub]=M2+iM2= M2(1+i)= C(1+i)[sup]2[/sup].(1+i)=C(1+i)[sup]3[br][/sup]Os juros a pagar depois de [b]t[/b] meses é M=C(1+i)[sup]t[/sup], em que [b]M[/b] é o montante, [b]C[/b] o capital, [b]i[/b] a taxa de juros e [b]t[/b] o tempo. [br][br]Observe o gráfico no Geogebra, referente aos juros das parcelas da compra feita pelo João.[br][/justify]
Evolução da dívida durante os 10 meses.
Situação inicial
[br][br][justify] João aplicou R$ 300.000,00 referente à venda da sua casa em caderneta de poupança que tem o rendimento de 0,3% de juros ao mês. Ele pretende dobrar o valor desse dinheiro, e para que isto ocorra é necessário deixar o dinheiro aplicado por quantos anos?[br] Para fazer esse cálculo é preciso usar a fórmula de juros compostos:[br][br]M=C. (1+i)[sup]t[/sup][br][br]Onde M significa Montante, C= Capital, i= taxa de juros e t= tempo.[br][br]C= 300000 e o M é o dobro de C, então M=600000, assim:[br][br]600000=300000.(1+0,3%)[sup]t[br][/sup][math]\frac{600000}{300000}=\left(1+0,003\right)^t[/math][br]2=1,003[sup]t [/sup][br]Agora não é possível resolver usando os conhecimentos anteriores, é necessário ter noção dos conceitos de Logaritmo.[br]Para continuar essa conta, temos que utilizar a propriedade log[sub]a[/sub]M[sup]n[/sup]= n. log[sub]a[/sub]M, assim:[br]2=1,003[sup]t[/sup] (multiplicamos a equação por log)[br]log2= log1,003[sup]t[/sup] (aplicamos a propriedade citada acima)[br]log2=t.log1,003[br][math]t=\frac{log2}{log1,003}[/math][br]t=231,4 meses[br]t=19,28 anos[br][br][b]Definição de Função Logarítmica[/b][br][br][br]A inversa da função exponencial de base a é a função [math]log_a:\mathbb{R}\begin{matrix}\ast\\+\end{matrix}\longrightarrow\mathbb{R}[/math], que associa cada número real positivo x o número real log[sub]a[/sub] x, chamado logaritmo de x na base a, com a real positivo e [math]a\ne1[/math].[br][br][br][/justify]