Single-Choice Fragen zu Regeln c) und d)

Diese Aufgaben sollen dir zeigen, ob du die Rechenregeln c) und d) verstanden hast und anwenden kannst. [br]Versuche, die Aufgaben zunächst ohne den Hinweis zu lösen. [br]Die Aufgaben sollten schnell zu lösen sein.

1. Aufgabe zu c)

Untersuche die Folgen auf Konvergenz und bestimme (wenn möglich) den Grenzwert.

i) Sei [math]\left(a_n\right)_{n\ge1}=1+\frac{1}{n}[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\ge1}=3-\frac{2}{n}[/math].[br]Bestimme den Grenzwert von [math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\ge1}[/math], falls existent.

[math]\lim_{n\to\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=0[/math] [math]\lim_{n\to\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=3[/math] [math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\ge1}[/math] divergiert.

ii) Sei [math]\left(a_n\right)_{n\ge1}=\frac{2}{n}[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\ge1}=5+\frac{1}{n}[/math].[br]Bestimme den Grenzwert von [math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\ge1}[/math], falls existent.

[math]\lim_{n\to\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=5[/math] [math]\lim_{n\to∞}\left(a_n\cdot b_n\right)=0[/math] [math]\lim_{n\to∞}\left(a_n\cdot b_n\right)=10[/math] [math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\ge1}[/math] divergiert.

iii) Sei [math]\left(a_n\right)_{n\ge1}=2+\frac{1}{n}[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\ge1}=-1+\frac{3}{n}[/math].[br]Bestimme den Grenzwert von [math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\ge1}[/math], falls existent.

[math]\left(a_n\cdot b_n\right)_{n\ge1}[/math] divergiert. [math]\lim_{n\to\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=-2[/math] [math]\lim_{n\to\infty}\left(a_n\cdot b_n\right)=2[/math] [math]\lim_{n\to∞}\left(a_n\cdot b_n\right)=-1[/math]

2. Aufgaben zu d)

i) Sei [math]\left(a_n\right)_{n\ge1}=2+\frac{1}{n}[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\ge1}=4+\frac{1}{n}[/math].[br]Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\ge1}[/math], falls existent.

[math]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=2[/math] [math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\ge1}[/math] divergiert. [math]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=4[/math] [math]\lim_{n\to∞}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{1}{2}[/math]

ii) Sei [math]\left(a_n\right)_{n\ge1}=\frac{3}{n}[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\ge1}=3+\frac{2}{n}[/math].[br]Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\ge1}[/math], falls existent.

[math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\ge1}[/math] divergiert. [math]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{1}{3}[/math] [math]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=0[/math] [math]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=3[/math]

iii) Sei [math]\left(a_n\right)_{n\ge1}=5-\frac{2}{n}[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\ge1}=2+\frac{1}{n}[/math].[br]Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\ge1}[/math], falls existent.

[math]\lim_{n\to∞}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{2}{5}[/math] [math]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{5}{2}[/math] [math]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=2[/math] [math]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_n}{b_n}\right)=3[/math]

3. Aufgabe (gemischt)

i) Sei [math]\left(a_n\right)_{n\ge1}=1+\frac{1}{n}[/math] und [math]\left(b_n\right)_{n\ge1}=2+\frac{1}{n}[/math].[br]Bestimme den Grenzwert von [math]\left(\frac{a_n\cdot b_n}{2}\right)_{n\ge1}[/math], falls existent.

[math]\lim_{n\to∞}\frac{a_n\cdot b_n}{2}=\frac{1}{2}[/math] [math]\lim_{n\to∞}\frac{a_n\cdot b_n}{2}=0[/math] [math]\lim_{n\to∞}\frac{a_n\cdot b_n}{2}=2[/math] [math]\lim_{n\to∞}\frac{a_n\cdot b_n}{2}=1[/math]

ii) Sei [math]\lim_{n\to∞}a_n=0[/math] und [math]\lim_{n\to∞}b_n=0[/math].[br]Welche Aussage ist richtig?

Der Grenzwert ist immer 0. Die Quotientenregel darf nicht angewendet werden. Der Grenzwert von [math]\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n\ge1}[/math] ist immer 1. Der Grenzwert existiert nie.

iii) Welche Aussage ist immer richtig?

Das Produkt konvergiert nur, wenn beide Grenzwerte ungleich 0 sind. Das Produkt divergiert, wenn der Grenzwert 0 ist. Wenn beide Folgen konvergieren, konvergiert auch ihr Produkt.

Solltest du eine Frage falsch beantwortet haben, kann dir der Hinweis womöglich helfen. Solltest du Fragen zum Lösungsweg haben, kannst du in den [b]Lösungen zu den Aufgaben[/b] nachschauen.

Single-Choice Fragen zu Regeln c) und d)

1. Aufgabe zu c)

2. Aufgaben zu d)

3. Aufgabe (gemischt)

Information: Single-Choice Fragen zu Regeln c) und d)