Infinitesimalrechnung

Simon Hackl, 2016年7月19日

内容目录

  1. Grundlagen der Differentialrechnung
    1. Grenzwert einer Funktion
    2. Differenzen- und Differentialquotient
    3. Arbeitsblattt Experimentelles Differenzieren
    4. Ableitungsquiz - Ist das die Ableitungsfunktion
    5. Krümmung
    6. Neigungswinkel einer linearen Funktion
    7. Illustration des Zwischenwertsatzes
    8. Mittelwertsatz der Differentialrechnung
    9. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
  2. Anwendungen der Differentialrechnung
    1. Einleitung zur Kurvendiskussion
    2. Taylorpolynome
    3. Das Newtonsche Näherungsverfahren
  3. Extremwertaufgaben
    1. Extremwertaugabe Kaninchenstall
    2. Maximale Fläche für ein rechteckiges Grundstück
    3. Verkehrsdichte
    4. Saftbox
    5. Rechteck als Tetraederschnitt
    6. Kegel mit eingeschriebenem Zylinder
    7. Kegel mit eingeschriebenem Prisma
  4. Grundlagen der Integralrechnung
    1. Ober- und Untersumme
    2. Riemannsumme 1
    3. Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
    4. Mittelwertsatz der Integralrechnung
    5. Gleich große Flächen
  5. Anwendungen der Integralrechnung
    1. Staumauer
    2. Berechnung des Rotationsvolumens
    3. Berechnung der Länge einer Kurve
    4. Cavalieri-Prinzip
  6. Differenzengleichung
    1. Richtungsfeld für y' = k·y
    2. Richtungsfeld
    3. Richtungsfeld (Version 2)

1.

Grundlagen der Differentialrechnung

  • 1. Grenzwert einer Funktion
  • 2. Differenzen- und Differentialquotient
  • 3. Arbeitsblattt Experimentelles Differenzieren
  • 4. Ableitungsquiz - Ist das die Ableitungsfunktion
  • 5. Krümmung
  • 6. Neigungswinkel einer linearen Funktion
  • 7. Illustration des Zwischenwertsatzes
  • 8. Mittelwertsatz der Differentialrechnung
  • 9. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

1.1.

Grenzwert einer Funktion

[size=85](vgl. Hinrichs, A.: Analysis 1, Vorlesungsnotizen, Wintersemester 2015/2016, Johannes Kepler Universität Linz)[/size]
[b]Aufgabe[/b][br][list][*]Blende eine der Folgen (a[sub]n[/sub]), (b[sub]n[/sub]) oder (c[sub]n[/sub]) ein.[br][/*][*]Erhöhe den Index n und beobachte das Verhalten der Folge und der Folge der Funktionswerte. [br][/*][*]Blende wahlweise die anderen Folgen ein.[br][/*][*]Verändere die Stelle x[sub]0[/sub] und untersuche weitere Funktionen und ihren Grenzwert an der Stelle x[sub]0[/sub].[br][/*][/list]Beispiele: [br]f(x) = e[sup]-x²[/sup] und x[sub]0[/sub] = 0[br]f(x) = sin(x) und x[sub]0[/sub] = π (pi)[br]f(x) = Wenn[x<= 3, 2, x] [br]...
– Andreas Lindner

1.2.

–

1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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1.9.

–

2.

Anwendungen der Differentialrechnung

  • 1. Einleitung zur Kurvendiskussion
  • 2. Taylorpolynome
  • 3. Das Newtonsche Näherungsverfahren

2.1.

Einleitung zur Kurvendiskussion

In diesem Applet siehst du die Modellierung einer Straße und kannst eine Auto darauf fahren lassen. Beobachte, wie sich die Tangente/Steigung verändert und die Krümmung!
Einleitung zur Kurvendiskussion
– Kurt Söser

2.2.

–

2.3.

–

3.

Extremwertaufgaben

  • 1. Extremwertaugabe Kaninchenstall
  • 2. Maximale Fläche für ein rechteckiges Grundstück
  • 3. Verkehrsdichte
  • 4. Saftbox
  • 5. Rechteck als Tetraederschnitt
  • 6. Kegel mit eingeschriebenem Zylinder
  • 7. Kegel mit eingeschriebenem Prisma

3.1.

Extremwertaugabe Kaninchenstall

Extremwertaufgabe Kaninchenstall
– Berthold Göring

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

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3.5.

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3.6.

–

3.7.

–

4.

Grundlagen der Integralrechnung

  • 1. Ober- und Untersumme
  • 2. Riemannsumme 1
  • 3. Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen
  • 4. Mittelwertsatz der Integralrechnung
  • 5. Gleich große Flächen

4.1.

Ober- und Untersumme

darstellung von unter- und obersumme

lesen sie für verschiedene n die werte bzw. die differenz von ober- und untersumme ab
– ew.bauer

4.2.

–

4.3.

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4.4.

–

4.5.

–

5.

Anwendungen der Integralrechnung

  • 1. Staumauer
  • 2. Berechnung des Rotationsvolumens
  • 3. Berechnung der Länge einer Kurve
  • 4. Cavalieri-Prinzip

5.1.

Staumauer

Eine 92 m lange Staumauer ist 24 m hoch und hat in jeder Höhe einen rechteckigen Querschnitt. Am Fuß der Mauer beträgt die Breite 16 m, und am oberen Ende ist sie 4,67 m breit. Die Breite der Mauer nimmt nach oben hin entsprechend der Funktion [math]b(z) = 16·a^{z}[/math] exponentiell ab.[br]Berechne das Volumen der Staumauer.[br](Lösung: ca. 20 318 m³ Beton)[br][br][b]Veranschaulichung[/b][br]Blende die Quader zur näherungsweisen Berechnung ein.[br]Verändere mit dem Schieberegler die Anzahl der Quader und beobachte den Unterschied zwischen der näherungsweisen und der exakten Berechnung.[br][br]Hinweis: [br]Eine ähnliche Fragestellung findest du auf [url]https://www.geogebratube.org/student/m135626[/url].[br]Vergleiche die beiden Ergebnisse und erkläre das Zustandekommen dieser Ergebnisse.
– Andreas Lindner

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

6.

Differenzengleichung

  • 1. Richtungsfeld für y' = k·y
  • 2. Richtungsfeld
  • 3. Richtungsfeld (Version 2)

6.1.

Richtungsfeld für y' = k·y

Das Applet zeigt das Richtungsfeld für die Differentialgleichung y' = k·y.[br]Dabei können die Grenzen des Richtungsfelds, der Faktor k, die Anzahl und die Länge der Linienelemente variiert werden.[br]Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet [math]y = c·e ^{k·x}[/math].[br]Eine spezielle Lösung, die durch den Punkt P geht, ist eingezeichnet.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere mit den Schiebereglern die Werte für k, n und a.[br]Verschiebe den Punkt P und beobachte die Auswirkungen.
– Andreas Lindner

6.2.

–

6.3.

–

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