[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt#material/ahjbgug9][img]data:image/png;base64,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[/img][/url][/td][td] [size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des [color=#980000][b]geogebra-books[/b][/color] [br] [url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n][color=#0000ff][u][b]Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ...[/b][/u][/color][/url] ([color=#ff7700][i][b]05.08.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][right][size=50][i][b][br][/b][/i][/size][/right]

[size=85][b][i][u][color=#ff7700]Bizirkulare Quartiken[/color][/u][/i][/b] sind [b][i][color=#0000ff]möbiusgeometrisch[/color][/i][/b] einfach zu charakterisieren:[br]Diese [b][i][color=#ff7700]Quartiken [/color][/i][/b]besitzen [b][color=#980000]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b], zusammenfallende inbegriffen.[br][table][tr][td] [b](1)[/b] [/td][td][b][color=#980000]4[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]konzyklische[/color][/i][/b] , paarweise verschiedenen [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b].[br]Die [b][i]Quartik[/i][/b] besitzt [b][color=#980000]4[/color][/b] paarweise [b][i][color=#0000ff]orthogonale[/color][/i][/b] [b][i][color=#e69138]Symmetriekreise[/color][/i][/b], einer davon ist imaginär.[br]Durch eine [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformation[/color][/i][/b] erreicht man, dass die [b][i][color=#e69138]Achsen[/color][/i][/b] und der [b][i][color=#e69138]Einheitskreis[/color][/i][/b][b][i][color=#e69138] Symmetriekreise[/color][/i][/b] sind,[br]und die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] auf der [math]x[/math]-Achse liegen: [math]+f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] mit [math]f\in\mathbb{R}[/math] und [math]f>1[/math] (i.d.Regel)[/td][/tr][tr][td] [b](2)[/b] [/td][td][b][color=#980000]4[/color][/b] verschiedene [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b], die zu [b][color=#980000]2[/color][/b] Paaren [b][i][color=#e69138]spiegelbildlich[/color][/i][/b] auf [b][color=#980000]2[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b] liegen.[br]Durch eine [size=85][b][i][color=#0000ff]Möbiustransformation[/color][/i][/b][/size] erhält man die Achsen als [b][i][color=#e69138]Symmetrieachsen[/color][/i][/b] und [br]man kann [math]+f,-f,\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math] mit [math]f\in\mathbb{R}[/math] und [math]f>1[/math] für die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] erreichen[br][/td][/tr][tr][td] [b] (3)[/b][/td][td][b][color=#980000]2[/color][/b] einfache und ein doppelter [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b]. Die Achsen können als [b][i][color=#e69138]Symmetrieachsen[/color][/i][/b] gewählt werden,[br]die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] auf der [math]x[/math]-Achse: [math]+f,-f[/math] und 0 als doppelter [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b], mit [math]f\ne0,f\in\mathbb{R}[/math]; [br]im Prinzip kann man [math]f=1[/math] wählen. Gespiegelt am [b][i][color=#e69138]Einheitskreis[/color][/i][/b] erhältm man einen [b][i][color=#ff7700]Mittelpunktskegelschnitt[/color][/i][/b].[br][/td][/tr][tr][td] [b](4)[/b][/td][td]Ein einfacher und ein dreifacher [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b]: wählt man lezteren als [math]\infty[/math], so ist die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] eine [b][color=#ff7700][i]Parabel[/i][/color][/b].[/td][/tr][tr][td] [b](5)[/b][/td][td]Zwei doppelte [size=85][b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color] [/i][/b][/size]oder ein [b][color=#980000]4[/color][/b]-facher [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b]: die [b][i][color=#ff7700]Quartik [/color][/i][/b]ist das Produkt [br]zweier sich nicht berührender, bzw. zweier sich berührenden [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b].[/td][/tr][/table][br]Wir versuchen, die [b][i][color=#0000ff]Leit-Kreis[/color][/i][/b]-Konstruktion für die Fälle [b](1)[/b] - [b](3)[/b] durchzuführen und zu begründen.[br]An mehrfacher Stelle haben wir bedauert, dass für diese grundlegenden Konstruktionen wir keine rechnerische[br]Begründungen gefunden haben. Es fehlt uns für diese [b][i][color=#0000ff]kreis-geometrischen[/color][/i][/b] Aussagen der geeignete nachvollziehbare Kalkül.[br]Versuch, mit [b][color=#980000]geogebra[/color][/b]-[b]CAS[/b] uns Licht ins Dunkle zu verschaffen, scheiterten - meist an den unübersichtlichen Formeln.[br]Wir stellen hier [b][i][color=#0000ff]geometrische[/color][/i][/b] Gründe bereit.[br][/size]

[size=85]Vorgegeben sind im Applet ein [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] [b][color=#00ff00]f[/color][/b], ein [b][i][color=#ff7700]Scheitelpunkt[/color][/i][/b] [b][color=#ff7700]s[/color][/b] und [math]\delta\in\left\{-1,0,1\right\}[/math] für die Fälle [b](1)[/b] - [b](3)[/b].[br]Die implizite Gleichung der [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color][/i][/b] lautet dann[br][/size][list][*][size=85][math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+\delta=0[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Zur Berechnung der reellen Koeffizienten [math]A_x,B_y[/math] wird die reelle Funktion [math]\kappa\left(u\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(u^2+\frac{\delta}{u^2}\right)[/math] verwendet:[br][/size][list][*][math]A_x=\kappa\left(s\right)[/math] [size=85]und [/size][math]B_x=\frac{\kappa\left(f\right)\cdot\kappa\left(s\right)-\delta}{\kappa\left(f\right)-\kappa\left(s\right)}[/math][br][/*][/list][size=50][b][i][u][color=#cc0000]Bemerkung[/color][/u][/i][/b]: in[b][i][color=#980000] geogebra[/color][/i][/b] werden reelle Zahlen und [b][i][color=#ff0000]Punkte[/color][/i][/b] auf der [math]x[/math]-Achse als verschiedene Objekte betrachtet;[br]daher muss zB. in [b][i][color=#980000]geogebra[/color][/i][/b] [math]A_x=\kappa\left(x\left(s\right)\right)[/math] mit dem vorgegebenen [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] [b][color=#ff7700]s[/color][/b] [math]=s+0\cdot i[/math] berechnet werden.[br][size=85]Aus den Koeffizienten [math]A_x,B_y[/math] berechnet man andererseits wieder die [b][i][color=#ff0000]Scheitel[/color][/i][/b][br][/size][/size][list][*][size=85]auf der [math]x[/math]_Achse:[/size] [math]s=s_x=\pm\sqrt{A_x\pm\sqrt{A_x^2-\delta}}[/math][size=85], auf der y-Achse[/size] [math]s_y=\pm i\cdot\sqrt{B_y\pm\sqrt{B_y^2-\delta}}[/math] [size=50](beide reell gerechnet)[/size][br][size=85]und auf dem [b][i][color=#e69138]Einheitskreis[/color][/i][/b]: [math]s_E=\mp\sqrt{\frac{B_y-\frac{1+\delta}{2}}{B_y-A_x}}\pm i\cdot\sqrt{\frac{A_x-\frac{1+\delta}{2}}{A_x-B_y}}[/math] [size=50](beide reell gerechnet).[/size][br][/size][/*][/list][size=50][size=85]Die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] werden mit [math]Q=\frac{A_x\cdot B_y-\delta}{B_Y-A_x}[/math] [b][i][color=#0000ff]komplex[/color][/i][/b] berechnet: [math]f=\pm\sqrt{Q\pm\sqrt{Q^2-\delta+0\cdot i}}[/math]. [br]Durch die [b][i][color=#0000ff]komplexe[/color][/i][/b] Rechnung werden auch die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] auf dem [b][i][color=#e69138]Einheitskreis[/color][/i][/b] und auf der [math]y[/math]-Achse erfasst.[br][b][i]Konfokale[/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] erhält man durch Vorgabe von [math]\tilde{A_x}[/math], [br]bzw. durch einen [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b] [math]\tilde{s}[/math] auf der [math]x[/math]-Achse ([math]\tilde{A_x}=\kappa\left(\tilde{s}\right)[/math]) und [math]\tilde{B_y}=\frac{Q\cdot \tilde{A_x}-\delta}{Q-\tilde{A_x}}[/math].[/size][/size]

[size=85]Falls alle [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] auf einem gemeinsamen [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] liegen (Fälle [b](1)[/b], [b](3)[/b] und [b](4)[/b][/size]), [size=85]so bezeichnen wir [br]diesen [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] als "Hauptachse"[/size].[br][b][i][u][color=#980000]Grundeigenschaft der Leitkreise:[/color][/u][/i][/b][br][size=85]Man zeichne einen der [b][color=#cc4125]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] (im Folgenden mit [b][color=#00ff00]f[/color][/b] bezeichnet) und eine der [b][i][color=#e69138]Symmetrien[/color][/i][/b] einer [br][b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color][/i][/b] aus. ([size=50]Die [b][i][color=#ff7700]Hauptachsensymmetrie[/color][/i][/b] ausgenommen, [math]\hookrightarrow[/math] [b][i][u][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/vauwyuaw]Wellen[/url][/color][/u][/i][/b] zeigt eine Konstruktionsmöglichkeit für diesen Fall[/size] )[br]Zu der [b][i][color=#e69138]Symmetrie[/color][/i][/b] gehört eine Schar von die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b].[br][list][*]Spiegelt man den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] [b][color=#00ff00]f[/color][/b] an den [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b] der Schar, so liegen die Spiegelpunkte auf einem [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b], [br]dem [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] bezüglich [b][color=#00ff00]f[/color][/b].[/*][*]Zu jedem [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] [b][color=#00ffff]q[/color][/b] auf diesem [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] gehört genau ein [size=85][b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size] der Schar [br]mit der genannten Eigenschaft.[br][/*][/list]Diese Eigenschaft trifft auch für die [b][i][color=#ff7700]Tangentialkreise[/color][/i][/b] an [b][i][color=#ff7700]Kegelschnitte[/color][/i][/b] ([b][i][color=#999999]Tangenten[/color][/i][/b]) zu, also für die [b][i][color=#999999]berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b],[br]welche durch den doppelten oder 3-fachen [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] gehen, obwohl keine [b][i][color=#e69138]Symmetrie[/color][/i][/b] vorliegt. [br][br]Vorgegeben: der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] [b][color=#00ff00]f[/color][/b] auf der [math]x[/math]-Achse, ein [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][color=#ff7700] s[/color][/b] auf der [math]x[/math]-Achse sowie [math]\delta\in\left\{-1,0,-1\right\}[/math].[br]Die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [math]f,f'=-f,f''=\frac{\sqrt{\delta}}{f},f'''=\frac{-\sqrt{\delta}}{f}[/math] liegen in [b][i][color=#0000ff]Normalform[/color][/i][/b], [b][i][u][color=#cc0000]Scheitelkreise[/color][/u][/i][/b], [/size][size=85]symmetrisch zur [math]y-[/math]Achse[/size][size=85][br] [math]cs=x^2+y^2-s^2=0[/math] und [math]cs'=x^2+y^2-\frac{\delta}{s^2}=0[/math] . [br]Für [math]\delta=-1[/math] ist der [b][color=#cc0000]2[/color][/b]. [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] imaginär, für [math]\delta=0[/math] ist es der Ursprung als [b][i][color=#ff0000]Punktkreis[/color][/i][/b]. [br][b][color=#00ff00]f[/color][/b] gespiegelt an diesen beiden [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b] liefert die reellen [b][i][color=#6d9eeb]Punkte[/color][/i][/b] [math]qL_y=\frac{s^2}{f}[/math] und [math]qL'_y=\frac{\delta}{f\cdot s^2}[/math] auf der [math]x[/math]-Achse.[br]Da der "[b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b]" aus Symmmetriegründen [math]x[/math]-achsensymmetrisch sein muß, ergibt sich mit diesen Randpunkten [br]die "[b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b]"-Gleichung mit Mittelpunkt: [math]mcL=\frac{1}{2\cdot f}\cdot\left(s^2+\frac{\delta}{s^2}\right)[/math] und Radius: [math]rcL=\frac{1}{2\cdot f}\cdot\left(s^2-\frac{\delta}{s^2}\right)[/math]:[br][/size][list][*][math]cL=\left(x-mcL\right)^2+y^2-rcL^2=x^2-\frac{2}{f}\left(s^3+\frac{\delta}{s^2}\right)\cdot x+y^2+\frac{\delta}{f^2}=0[/math][br][/*][/list][size=85]Für [math]\delta=1[/math] liegen [math]f''[/math] und [math]f'''[/math] spiegelbildlich zu [math]cL[/math]: [math]\left(\frac{1}{f}-mcL\right)\cdot\left(-\frac{1}{f}-mcL\right)-rcL^2=0[/math].[br]Für [math]\delta=0[/math] berührt der [math]cL[/math] die [math]y[/math]-Achse in [math]0=f''=f'''[/math].[br]Für [math]\delta=-1[/math] geht [math]cL[/math] durch [math]f'',f'''=\pm\frac{i}{f}[/math], wovon man sich durch Einsetzen überzeugt.[br][br]Es sei [b][color=#00ffff]q[/color][/b] ein Punkt auf [math]cL[/math] und [math]t_q[/math] die [b][i][color=#999999]Tangente[/color][/i][/b] an [math]cL[/math] durch [/size][size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85] und [math]mcw[/math] der [b][i][color=#999999]Tangentenschnittpunkt[/color][/i][/b] mit der [math]y[/math]-Achse.[br]Der [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] [math]cw[/math] um [math]mcw[/math] durch [/size][size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85] geht für [math]\delta=1[/math] durch [math]f'',f'''[/math], berüht für [math]\delta=0[/math] die [math]x[/math]-Achse in [math]0[/math],[br]und liegt für [math]\delta=-1[/math] im [b][i][color=#ff0000]hyperbolischen Kreisbüschel[/color][/i][/b] um [math]f'',f'''[/math].[br]Der "[b][i][color=#ff0000]Brennkreis[/color][/i][/b]" [math]cw[/math] ist [b][i][color=#0000ff]orthogonal [/color][/i][/b]zum "[/size][size=85][b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b][/size][size=85]" und zur [/size][size=85][b][i][color=#999999]Tangente [/color][/i][/b][/size][math]t_q[/math][size=85].[br][math]t_q[/math] gespiegelt an der [i][b][color=#999999]Mittelsenkrechten[/color][/b][/i] [math]m_{fq}[/math] [size=85]von [b][color=#00ff00]f[/color][/b] und [b][color=#00ffff]q[/color][/b] ergibt eine [i]Gerade[/i] [math]t_f[/math] durch [b][color=#00ff00]f[/color][/b].[br]Der [/size][/size][size=85]"[b][i][color=#ff0000]Brennkreis[/color][/i][/b]"[/size][size=85][size=85] [math]cw'[/math] um den Schnittpunkt von [math]t_f[/math] mit der [math]y[/math]_Achse durch [/size][/size][size=85][size=85][b][color=#00ff00]f[/color][/b][/size][/size][size=85][size=85] ist [/size][/size][size=85][b][i][color=#0000ff]orthogonal[/color][/i][/b][/size][size=85][size=85] zur [/size][/size][size=85][size=85][i]Geraden[/i][/size][/size][size=85][size=85] [math]t_f[/math].[/size][br]Der [b][i][color=#cc0000]Schnittpunkt[/color][/i][/b] [math]pL_y[/math] der [/size][size=85][size=85][i]Geraden[/i][/size][/size][size=85] [math]t_q,t_f[/math] ist Mittelpunkt eines [b][i][color=#ff0000]Kreises[/color][/i][/b] [math]c_{qf}[/math], der die "[b][i][color=#ff0000]Brennkreise[/color][/i][/b]" [math]cw,cw'[/math] in [/size][size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85] bzw. in [/size][size=85][size=85][b][color=#00ff00]f[/color][/b][/size][/size][size=85] berührt.[br]Falls die [size=85][size=85][i]Geraden[/i][/size][/size] parallel sind, haben die [size=85]"[b][i][color=#ff0000]Brennkreise[/color][/i][/b]"[/size] in [size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85] und in [/size][size=85][size=85][b][color=#00ff00]f[/color][/b][/size][/size] die gemeinsame Tangente [math]c_{qf}[/math].[br][/size][size=50]Übrigens: falls dies für jedes [b][color=#00ffff]q[/color][/b] auf dem "[b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b]" [math]cL[/math] der Fall ist, ist die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] eine [b]CASSINI[/b]-Kurve[/size] [size=85] [math]\hookrightarrow[/math] [b][u][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/dtewjvgc]CASSINI[/url][/color][/u][/b].[br]Der [b][i][color=#999999]Mittelkreis[/color][/i][/b] [math]cdb_y[/math] von [math]cw[/math] und [math]cw'[/math] ist [/size][size=85][b][i][color=#0000ff]orthogonal[/color][/i][/b][/size][size=85] zu [math]c_{fq}[/math]. [br]Gespiegelt an ihm werden die [/size][size=85]"[b][i][color=#ff0000]Brennkreise[/color][/i][/b]"[/size][size=85] [math]cw[/math] und [math]cw'[/math], sowie [/size][size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85] und [/size][size=85][size=85][b][color=#00ff00]f[/color][/b][/size][/size][size=85] vertauscht.[br]Falls [math]cw[/math] und [math]cw'[/math] sich schneiden, ist [math]cdb_y[/math] [b][i][color=#0000ff]winkelhalbierender [/color][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] von [math]cw,cw'[/math], [br]und ein [math]y[/math]-achsensymmetrischer [b][i][color=#999999]doppelt berührender[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color][/i][/b].[br]Die Gleichungen der [/size][size=85][size=85]"[b][i][color=#ff0000]Brennkreise[/color][/i][/b]"[/size][/size][size=85] und die Koordinaten der [b][i][color=#ff7700]Schnittpunkte[/color][/i][/b] rechnerisch zu ermitteln, ist uns nicht gelungen.[br]Wären in [b][i][color=#980000]geogebra[/color][/i][/b] [b][i][color=#9900ff]elliptische Funktionen[/color][/i][/b] implementiert, so ließen sich die [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] und ihre [b][i][color=#ff7700]Punkte[/color][/i][/b] [br]in [b][i]Parameterdarstellung[/i][/b] untersuchen.[/size]