[br][br][br]LED-lamppujen valmistaja väittää, että heidän tuotteistaan voi ostettaessa olla viallisia yksi lamppu kolmestakymmenestä, mutta ei sen useampi. Asiakkailta on tullut valituksia, että lamput tuntuvat olevan rikkinäisiä heti ostettaessa varsin usein. Asiaa halutaan selvittää, ja tätä tutkimaan palkataan jokin riippumaton taho, joka testaa asian luotettavasti (koska ei ole sen paremmin valmistajan kuin asiakkaidenkaan "puolella" asiassa, heidän tehtävänsä on yksinkertaisesti selvittää asioiden todellinen laita faktojen valossa). [br][br](a)[br]Tutkiva taho hankkii käsiinsä 100 kappaletta lamppuja, joista asiakkaat ovat valittaneet. He testaavat kaikki lamput, ja käy ilmi, että tästä sadan lampun testierästä viallisia on 8 kappaletta. Kysymys kuuluu, voidaanko valmistajan väitettä epäillä tämän testin valossa?[br][br](b)[br]Jos testierässä olisikin ollut 15 rikkinäistä lamppua, mikä olisi tilanne silloin?[br]-------[br]VASTAUS:[br][br](a)[br]Huomataan, että jos lukuja verrataan "naiivisti", voitaisiin todeta seuraavaa: valmistaja väittää viallisia olevan [math] \Large \frac{1}{30} \approx 0.0333 [/math]. Testisarjassa oli rikkinäisiä lamppuja [math] \Large \frac{8}{100} \approx 0.08 [/math]. Testisarjassa rikkinäisten osuus on siis 8 prosenttia, valmistajan väittämän noin 3 prosentin sijaan. Mutta voiko tässä olla kyse pelkästä sattumasta? Onko tämä ylipäätään oikea tapa "mitata" tälläisiä tapauksia?[br][br]Oikea tapa laskea vertailuluvut tälläisissä tapauksissa on seuraava: OLETETAAN, että valmistajan väite pitää paikkansa (jos se ei pidäkään, tämä käy ilmi myöhemmin). Oletamme siis, että lamppu on jo ostettaessa rikki valmistajan ilmoittamalla todennäköisyydellä, eli [math] \Large \frac{1}{30} [/math]. Todennäköisyys sille, että lamppu on ehjä, on nyt siis [math] \Large \frac{29}{30} [/math]. Todennäköisyys sille, että testattavasta sadasta lampusta 8 on rikkinäisiä, olettaen että todennäköisyydet ovat ne jotka valmistaja ilmoitti, voidaan laskea näin:[br][br][br][math] \Large p = {100 \choose 8} \cdot \left( \frac{1}{30} \right)^{8} \cdot \left( \frac{29}{30} \right)^{92} \approx 0.012537 [/math][br][br]Tapahtuman todennäköisyys on siis prosentin luokkaa. Vaikka todennäköisyys on melko pieni, kyse voi kuitenkin ihan hyvin olla pelkästä sattumasta. Valmistajan väitettä ei siis voida vielä tämän perusteella epäillä.[br][br](b)[br]Jos sadan lampun testisarjassa on 15 rikkinäistä, saadaan tapahtuman todennäköisyydeksi (olettaen edelleen, että valmistajan väite on totta):[br][br][math] \Large p = {100 \choose 15} \cdot \left( \frac{1}{30} \right)^{15} \cdot \left( \frac{29}{30} \right)^{85} \approx 9.8948 \cdot 10^{-7} [/math][br][br]Tämä todennäköisyys on alle yksi miljoonasta. Saatu tulos voi toki edelleen olla pelkkää sattumaa, mutta kyse olisi varsin fantastisesta sattumasta. On siis syytä epäillä, että rikkinäisten lamppujen osuus on todellisuudessa valmistajan ilmoittamaa suurempi.[br]