Nemeuklideszi geometriák a közoktatásban(?)

Tarcsay Tamás, Mar 4, 2019

Gondolatok és ötletek a nemeuklideszi geometriák közoktatásban való tanításáról/hoz.

Table of Contents

  1. Bevezetés
    1. Technikai tudnivalók (48.)
    2. Előhang - módszertani gondolatok (24.)
    3. Nemeuklideszi geometriák a közoktatásban ??? (23.)
    4. Geometriák és modelljeik (22.)
  2. Ötletek a tárgyaláshoz
    1. A párhuzamossági axióma (47.)
    2. Adott egyenestől adott távolságra levő pontok (16.)
    3. A háromszög belső szögeinek összege (45.)
    4. A háromszög magasságegyenesei (44.)
    5. (új)Három nem kollineáris pontra illeszkedő körök
    6. Adott három egyenes, ...
    7. Thalész-tétel (43.)
    8. Egy probléma az Arany Dániel ... (27.)
    9. Középpontos hasonlósági transzformáció (26.)
    10. Egy mértani helyes probléma (30.)
    11. Kerületi szögek tétele (32.)
    12. Közös szelőszakasz felezőpontja (38.)
    13. Húrnégyszögek tétele (29.)
    14. Egy húrnégyszöges probléma (36.)
    15. A háromszög súlyvonalai (42.)
    16. Súlyvonalháromszög (35.)
    17. A háromszög középvonalai (33.)
    18. "Kúpszeletek" - euklideszi geometria(18.)
    19. "Kúpszeletek" - parabola (18.)
    20. "Kúpszeletek" - hiperbola - ellipszis(18.)
    21. Izogonális pont (25.)
    22. A magasságpont oldalegyenesekre vonatkozó tükörképe
    23. Magasságpont oldalfelező pontokra vonatkozó tükörképe
    24. Szinusztétel a nemeuklideszi modellekben
  3. Szimmetrikus sokszögek
    1. Tengelyesen szimmetrikus háromszög (50.)
    2. Forgásszimmetrikus háromszög (51.)
    3. Tengelyesen szimmetrikus négyszögek (53.)
    4. Középpontosan szimmetrikus négyszög (54.)
    5. Forgásszimmetrikus négyszög (55.)
  4. Itt a vége.
    1. S végül ... (21.)
  5. További problémák
    1. Két egymást érintő kör (17.)
    2. Súlypontos probléma (31.)
    3. Varignon-tétel (34.)
    4. Rögzítsük a kör ... (37.)
    5. Adott egy körön két pont ... (20.)
    6. Pont konjugáltja egy háromszögre vonatkozóan (2.)
    7. Középpontos tükrözés (52.)
    8. P06 Dr. Pintér Lajos problémája
    9. P07 Két egymáson kívül levő kör ...

1.

Bevezetés

  • 1. Technikai tudnivalók (48.)
  • 2. Előhang - módszertani gondolatok (24.)
  • 3. Nemeuklideszi geometriák a közoktatásban ??? (23.)
  • 4. Geometriák és modelljeik (22.)

1.1.

Technikai tudnivalók (48.)

[size=85][list=1][*]A GeoGebra tananyagok appleteket tartalmaznak.[/*][*]Minden applet jobb alsó sarkán egy négyzetet tartalmazó gomb látható, erre kattintva az applet "kinyílik". Az egész képernyőt elfoglalja. Ha még egyszer kattintunk, akkor az applet visszanyeri eredeti méretét.[/*][*]Az appletek nagy részén vezérlő gombok találhatók:[br]"T" - egy előre lépés (Ha eltűnik, akkor nem lehet tovább előre lépni.)[br]"V" - egy visszalépés[br]"C" - újra kezdés[/*][*]Ha az appletek animációkat tartalmaznak, akkor az applet alján az animációt indító, és leállító gombok találhatók[/*][*]Ha nyomvonalat rajzoltatunk az appletben, akkor a kép kis mozgatásával törlődik a nyomvonal,[/*][/list][/size]
– Tarcsay Tamás

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

2.

Ötletek a tárgyaláshoz

A következőkben néhány példát mutatunk arra, hogy milyen módon tárgyalhatók egymás mellett a különböző geometriák.

  • 1. A párhuzamossági axióma (47.)
  • 2. Adott egyenestől adott távolságra levő pontok (16.)
  • 3. A háromszög belső szögeinek összege (45.)
  • 4. A háromszög magasságegyenesei (44.)
  • 5. (új)Három nem kollineáris pontra illeszkedő körök
  • 6. Adott három egyenes, ...
  • 7. Thalész-tétel (43.)
  • 8. Egy probléma az Arany Dániel ... (27.)
  • 9. Középpontos hasonlósági transzformáció (26.)
  • 10. Egy mértani helyes probléma (30.)
  • 11. Kerületi szögek tétele (32.)
  • 12. Közös szelőszakasz felezőpontja (38.)
  • 13. Húrnégyszögek tétele (29.)
  • 14. Egy húrnégyszöges probléma (36.)
  • 15. A háromszög súlyvonalai (42.)
  • 16. Súlyvonalháromszög (35.)
  • 17. A háromszög középvonalai (33.)
  • 18. "Kúpszeletek" - euklideszi geometria(18.)
  • 19. "Kúpszeletek" - parabola (18.)
  • 20. "Kúpszeletek" - hiperbola - ellipszis(18.)
  • 21. Izogonális pont (25.)
  • 22. A magasságpont oldalegyenesekre vonatkozó tükörképe
  • 23. Magasságpont oldalfelező pontokra vonatkozó tükörképe
  • 24. Szinusztétel a nemeuklideszi modellekben

2.1.

A párhuzamossági axióma (47.)

Az Euklideszi geometriában ...
[size=85][url=http://mek.oszk.hu/00800/00857/html/]axióma [/url]az, hogy ha adott egy egyenes és egy rá nem illeszkedő pont, akkor egyetlen olyan egyenes van a síkjukban, ami illeszkedik az adott pontra, és nem metszi az adott egyenest.[/size]
Hogy a hiperbolikus geometriában mi van, azt ..
[size=85]vizsgálhatjuk az alábbi GeoGebra fájllal.[/size]
[size=85]Látható, hogy végtelen sok olyan egyenes van, ami illeszkedik az adott pontra, és nem metszi az adott egyenest.[/size]
Hogy mi van a gömbi geometriában,
[size=85]az alábbi GeoGebra applettel vizsgálható.[/size]
[size=85]Látható, hogy az adott pontra illeszkedő egyenesek mindegyike két pontban metszi az adott egyenest.[/size]
– Tarcsay Tamás

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

2.10.

–

2.11.

–

2.12.

–

2.13.

–

2.14.

–

2.15.

–

2.16.

–

2.17.

–

2.18.

–

2.19.

–

2.20.

–

2.21.

–

2.22.

–

2.23.

–

2.24.

–

3.

Szimmetrikus sokszögek

  • 1. Tengelyesen szimmetrikus háromszög (50.)
  • 2. Forgásszimmetrikus háromszög (51.)
  • 3. Tengelyesen szimmetrikus négyszögek (53.)
  • 4. Középpontosan szimmetrikus négyszög (54.)
  • 5. Forgásszimmetrikus négyszög (55.)

3.1.

Tengelyesen szimmetrikus háromszög (50.)

Az Euklideszi-geometriában
[size=85]megtanuljuk, megtanítjuk azt, hogy a[url=https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-9-osztaly/geometriai-transzformacio-tavolsagtarto-transzformacio/szimmetrikus-alakzatok] tengelyesen szimmetrikus[/url] háromszögek az [url=https://www.youtube.com/watch?v=yb6G5YJoA-A]egyenlő szárú háromszög[/url]ek. Ezeknek a [url=https://tudomanyplaza.hu/a-haromszogek-fajtai/]háromszögek[/url]nek[url=https://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011_0001_519_04218/ch02s02.html] tulajdonságai[/url]t is ismerjük, bizonyítjuk, használjuk problémák megoldásában.[br][/size][size=85]Ha tudjuk, hogy a merőlegesség, így tengelyes tükrözés abszolút geometriai fogalom, akkor nem várható, hogy meglepetéssel szolgálnak a nemeuklideszi geometriás vizsgálódások. A nemeuklideszi geometriákban nem járatosak számára - talán- érdekesek lehetnek az itt következő appletek.[br][/size]
A hiperbolikus geometriában
A gömbi geometriában
– Tarcsay Tamás

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

4.

Itt a vége.

  • 1. S végül ... (21.)

4.1.

S végül ... (21.)

[size=85]Ha valaki beleolvasott a korábbiakba, az láthatja, hogy sok probléma nincs rendesen megoldva. Több esetben még a sejtésekig sem jutottunk el. Sok az elvarratlan szál, a le nem ütött magas labda. Ennek a legtöbb esetben az az oka, hogy a szerző eddig jutott a probléma megoldása felé vezető úton, és - egyelőre - nem találja a továbblépés irányát.[br]Remélhető, hogy az olvasók között lesz olyan, aki el tud varrni egy elvarratlan szálat, le tud ütni egy feldobott magas labdát. Ha igen, akkor abból készülhetne új anyag.[/size][size=85][br][br]Egy bátor, pesszimista avagy realista szerző ide most az írná, hogy aki idáig eljutott, az jelentkezzen egy üveg jaffa szörpért, Erre itt bátorság, pesszimizmus és realizmus hiányában nem kerül sor. Néhány remény megfogalmazása marad még hátra:[br][list=1][*]Az itt leírtak alapján (is) látható hogy a különböző geometriák egymás melletti tanításának van helye a közoktatásban.[/*][*]Látható az is, hogy ez az együtt tanítás nem igényel a diákoktól nagyobb szellemi energiát. (A tanároktól annál inkább.)[/*][*]Leszűrhető az előzőek alapján, hogy az együttes tárgyalása a különböző geometriáknak nem igényel sokkal több időt.[/*][*]Megfigyelhető az is, hogy ebben az oktatási koncepcióban sok szellemi élmény vár tanárra és diákra egyaránt.[/*][*]Az is látható, hogy az itt leírtakon kívül sok kiaknázatlan szakmai és metodikai lehetőség vár a kreatív tanárokra.[/*][/list]Ha valaki ezek után azt mondja, hogy a kibicnek semmi sem drága, akkor lényegében igaza van. De nem teljesen (lásd. Több igazság létezik.), mert minimális oktatási tapasztalat áll az itt leírtak mögött. És ezek a tapasztalatok nem kedvezőtlenek.[br][/size][size=85]Aki kevesli az itt található problémákat, [url=https://www.geogebra.org/m/arrjndma]kereshet itt is[/url].[/size]
Köszönetnyilvánítás
[size=85]A szerző köszönettel - és esetleg néhány pohár jaffa szörppel - tartozik Dr. Szilassi Lajos tanár úrnak - többek között - az alábbiak miatt:[br][list=1][*]Ő készítette, és bocsátotta rendelkezésre az alkalmazott GeoGebrás modelleket.[/*][*]A vele való levelezés alapján született, és szilárdult meg az a meggyőződés a szerzőben, hogy a nemeuklideszi geometriáknak helye van a közoktatásban.[/*][*]Arányos, nem fizikai kényszert alkalmazva ő érte el, hogy a - fent említett - meggyőződés elképzeléssé érett és publikálásra került.[/*][*]Ötleteivel, javaslataival, tanácsaival segítette a - nemeuklideszi geometriában (is) kissé járatlan - szerzőt.[/*][/list][/size]
– Tarcsay Tamás

5.

További problémák

Olyan problémák, amelyekről a szerző azt gondolta, hogy érdekesek lesznek, de nem annyira, vagy olyanok, amelyek nem nagyon illenek a 2. fejezetbe.

  • 1. Két egymást érintő kör (17.)
  • 2. Súlypontos probléma (31.)
  • 3. Varignon-tétel (34.)
  • 4. Rögzítsük a kör ... (37.)
  • 5. Adott egy körön két pont ... (20.)
  • 6. Pont konjugáltja egy háromszögre vonatkozóan (2.)
  • 7. Középpontos tükrözés (52.)
  • 8. P06 Dr. Pintér Lajos problémája
  • 9. P07 Két egymáson kívül levő kör ...

5.1.

Két egymást érintő kör (17.)

A probléma
[size=85]Mi a mértani helye két egymást kívülről érintő körök érintési pontjainak, ha a két kört egy adott egyenest két adott pontjában érinti?[/size]
Megoldás az Euklideszi geometriában
[size=85]Tekintettel arra, hogy a Thalész-tételt használtuk, indokoltnak tűnik, megnézni, hogy mi van a nemeuklideszi geometriákban.[/size]
A hiperbolikus geometriában
A gömbi geometriában
[size=85]Úgy látszik, hogy a mértani hely a két nemeuklideszi geometriában is az [i]AB[/i] átmérőjű kör az [i]A[/i] és [i]B[/i] pontok kivételével. Ezek szerint létezhet olyan bizonyítás is, ami nem használja a Thalész-tételt.[br]Lehet, hogy az[url=https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-10-osztaly/a-korokrol-tanultak-ismetlese/kulso-pontbol-korhoz-huzhato-erintok] adott külső pontból adott körhöz húzott érintő szakaszok[/url] egyenlőségéről szóló tétel igaz a nemeuklideszi geometriákban is? ...[/size]
– Tarcsay Tamás

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

5.9.

–

Information