[size=150][url=https://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop412A/2011-0073_tudomanyos_gondolkodas_tortenete/ch05s03.html]A mai modern geometria[/url][/size] bármely axiomatikus, vagy többé-kevésbé [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Hilbert-f%C3%A9le_axi%C3%B3marendszer]axiomatikus felépítés[/url]e során kimondott axiómákat az alábbi csoportokra oszthatjuk:[br] [br][list][*][b][color=#9900ff]illeszkedési axiómák;[/color][/b][/*][*][b][color=#9900ff]rendezési axiómák; [/color][/b][/*][*][b][color=#9900ff]egybevágósági axiómák;[/color][/b][/*][*][b][color=#9900ff]folytonossági (mérési) axiómák;[/color][/b][/*][*][b][color=#0000ff]euklídeszi párhuzamossági axióma[/color] [/b]vagy[b] [color=#ff0000]hiperbolikus párhuzamossági axióma [/color].[/b][/*][/list][br]Az első négy axiómacsoportra, az ún. [i]maradék axiómarendszer[/i]re épül a – Bolyai János szóhasználatával élve – [i]abszolút geometria[/i], amely semmilyen formában nem tartalmazza a párhuzamossági axiómát. Attól függően, hogy a felmerülő lehetőségek közül melyiket választjuk párhuzamossági axiómaként, az euklideszi vagy a[url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Bolyai_János] Bolyai János[/url] (1802-1860) és [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Nyikolaj_Ivanovics_Lobacsevszkij]N.I. Lobacsevszkij[/url] (1792-1856) nevéhez fűződő ún. [i]hiperbolikus geometriát [/i]építhetjük tovább. A továbbiakban, amikor különböző kijelentéseket (fogalmakat, axiómákat, definíciókat, tételeket) említünk, határozottan ki fogjuk emelni, hogy egy kijelentés az abszolút geometria körébe tartozik-e, vagy csak az euklideszi, ill. a hiperbolikus geometriában érvényes. Ezért az[color=#9900ff] abszolút geometriai kijelentéseinket lila [/color]színnel, az[color=#0000ff] euklideszit kékkel[/color], a [color=#ff0000]hiperbolikus geometriában érvényeseket pirossal [/color]fogjuk jelezni. Ezekkel a színekkel is szeretnénk sugallni, hogy az [color=#9900ff][b]abszolút[/b] [/color][color=#333333]geometria[/color] közös része az [color=#0000ff][b]euklideszi[/b][/color] és a [color=#ff0000][b]hiperbolikus[/b][/color] geometriának. [br][br]Íme a három kategória három – vizsgálataink szempontjából kulcsfontosságú – kijelentése: [br][br][list][*][color=#9900ff]A maradék axiómarendszerrel bizonyítható, hogy a sík egy adott egyenesére merőleges egyenesek nem metszik egymást, így tehát [u]vannak[/u] egy síkban fekvő, egymást nem metsző egyenesek.[br]Nevezzünk [i]párhuzamos[/i]nak két egyenest, ha egy síkban vannak és nem metszők. [/color][/*][/list][color=#9900ff] [/color][br][list][*][color=#0000ff]Ha adott egy egyenes, és egy rá nem illeszkedő pont, akkor a pont és egyenes síkjában az adott ponton át az adott egyenessel [u]legfeljebb egy[/u] párhuzamos húzható.[/color][br][/*][/list] [br][list][*][color=#ff0000]Egy adott egyeneshez és egy rá nem illeszkedő ponthoz a pont és egyenes síkjának [u]legalább két[/u] olyan egyenese tartozik, amely az adott pontra illeszkedik és az adott egyenessel párhuzamos.[/color][br][/*][/list][br]A két utóbbi kijelentés az [color=#0000ff]euklideszi[/color], ill. a[color=#ff0000] hiperbolikus[/color] geometria párhuzamossági axiómája, melyek egymás tagadásai. Az[color=#9900ff] abszolút geometria[/color] axiómarendszerén belüli eszközökkel ugyanis nem dönthető el, hogy hány ilyen, adott egyenessel párhuzamos egyenes illeszthető a sík egy adott pontjára. Bolyai János zsenialitása kellett ahhoz, hogy erre a megállapításra jusson. Így a kérdést egy újabb axióma bevezetése oldhatta csak fel, amely azonban kétfelé ágaztatta az addig egységes geometriai rendszert. [br][br]A párhuzamosság kérdésére adhatunk olyan választ is, miszerint nincsenek egy síkban fekvő, egymást nem metsző egyenesek, ez azonban ellentmond a maradék axiómarendszernek. Arra a kijelentésre, hogy bármely két, egy síkban fekvő egyenes metsző,[url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e] felépíthető az ún. elliptikus geometria[/url]. Ehhez azonban módosítanunk kell a maradék axiómarendszerünket. Így hát a párhuzamosság kérdésére adott negyedik kijelentésünk ez lehetne:[br][list][*][color=#980000][i]A sík bármely két pontjára pontosan egy egyenes, és bármely két egyenesére pontosan egy pont illeszkedik. [/i][b][url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e#material/wehdfvpr][size=150]→[/size][/url][/b][/color][/*][/list]Az elliptikus geometriában pl. az egyenes zárt vonal. Így nem mondhatjuk azt, hogy egy egyenesre illeszkedő három pont közül valamelyik mindig a másik kettő [i]között[/i] van. Ezért nem értelmezhető a félegyenes, a szakasz, a tengelyes tükrözés stb. fogalma. (Gondoljunk például a gömbi geometriára, ahol a síknak a gömbfelület, egyenesnek a gömbi főkör fele meg.)[br][br]A matematikusok – az ellipszis, parabola és hiperbola analógiájára gondolva – szívesen használják az elliptikus, parabolikus, és hiperbolikus jelzőket annak a hangsúlyozására, hogy valamiből éppen 0, 1 vagy 2 van. Olvasóinkra bízzuk az analógia kibontását: a mi témakörünkben miből van éppen 0, 1 vagy (legalább) 2.[br][br]A továbbiakban kizárólag síkgeometriai kérdésekkel foglalkozunk.