Departament_Models del nostre voltant
Intentarem modelitzar situacions quotidianes i analitzarem el seu model gràfic i algebràic.
Table of Contents
- De patates i mòbils
- La truita de patates
- L'iphone
- Funcions
- Equació de la recta
- La pilota
- La pilota
- Analitzem la paràbola
- QUELIS
- Punts de tall
- El vèrtex de la paràbola
- El càlcul de màxims i mínims de funcions
- L'excursió
- L'excursió
- Els rectangles
- La funció de proporcionalitat inversa
- Repàs de la funció de proporcionalitat inversa.
- Virus i bacteries
- Virus
- La funció exponencial
- Interessos
- Repàs de la funció exponencial
- La muntanya rusa
- La muntanya russa
- Funcions polinòmiques
- Factorització de polinomis
- Ruffini
- Signe de les funcions polinòmiques
La truita de patates
Al mercat del barri tenen una parada en la qual el kg de patates per fregir val a 0,80€.[br]A l’escola del barri, cada divendres fan per dinar truita de patates. La Sra. Margarida, la cuinera, ha d’anar al mercat a comprar en funció dels nens que es queden aquell dia al menjador.[br][br]
a) Quant es gastarà si compra 3 kg de patates? b) Quants kg ha comprat si ha gastat 4,8€
Podem dir que entre el preu i el pes es crea una [b]relació de dependència.[/b]
c) Sempre s’utilitza la variable [b]x [/b]per a indicar la variable [b]independent[/b],[br]i [b]y[/b] per a la variable [b]dependent[/b]. En aquest cas, quina variable serà x? I la y?[br][br]
Doneu valors al pes i trobeu el valor del preu corresponent.
Quin gràfic es dibuixa? Com canviaria si el preu de les patates fos més car? i més barat?
Expressió algebraica de la funció.
Utilitza una expressió algebraica per a indicar la relació que hi ha entre el preu que paga en funció dels kg que compra ( y = f(x))
Representa la funció que acabes de trobar i comprova si has encertat com varia en funció del preu.
Quines d'aquestes expressions algebraica corresponen a una funció lineal?
Expliqueu amb les vostres paraules com és la gràfica de la funció lineal
La pilota
Si llencem una pilota a l’aire, és fàcil imaginar-nos quin serà el recorregut que farà fins que s’aturi. Però tenim alguna funció coneguda que representi aquest recorregut?[br][br]El nostre objectiu serà estudiar matemàticament aquest recorregut, és a dir, si correspon gràficament[br]amb alguna funció coneguda. Per descobrir-ho farem el llançament d’una pilota, el gravarem amb el nostre mòbil i amb una aplicació anomenada VidAnalysis i amb el Geogebra analitzarem el moviment.[br][br]Seguiu les instruccions del pdf.
La_pilota
Copieu en el següent applet els punts que heu obtingut al full de càlcul, seguint les instruccions del pdf.
Quina funció s'ajusta al recorregut de la teva pilota? Escriu la seva expressió algebraica.
Quina forma té aquesta gràfica? Saps com es diu la funció que es representa sempre d'aquesta manera?
Observa la funció que està representada, i analitza com canvia la forma, canviant els coeficients.
Com podries esbrinar que la funció representada és una funció quadràtica?
La paràbola
Quines característiques observes quan representem la paràbola?
L'excursió
Un grup d’alumnes vol organitzar una excursió i per aquest motiu demanen pressupost a una agència de viatges que els demana 360€ pel lloguer d’un autocar, sigui quin sigui el nombre d’alumnes que s’hi apuntin. [br]Els organitzadors estan una mica preocupats perquè de moment només s’han apuntat 10 alumnes i [br]sembla que la sortida sortirà molt cara.
Quant haurien de pagar cada un d'ells si s'apunten només 10 alumnes?
I si van a l'excursió 15 alumnes?
I si el total d'alumnes és 30?
Podríem fer una taula de dues columnes, on posar el preu a pagar, un cop sabem quants alumnes hi van.
Això ens fa pensar que es genera una relació de dependència entre dues variables. Pensa entre quines variables i quina serà la dependent i quina la independent.
Quina seria la variable independent en aquest cas? x =...
Quina serà la variable dependent ? y = ...
Trobeu una expressió algebraica que ens permeti trobar la y en funció de la variable x. T'anirà bé pensar en què has fet per trobar cada y de la taula, utilitzant la x.
Saps quina mena de funció acabeu d'escriure?
Utilitza la finestra algebraica per escriure la funció i observa quina gràfica es genera.
Com es diu aquesta gràfica?
Virus
“La propagació del coronavirus és exponencial, la qual cosa és dolenta, però el seu inevitable declivi també serà exponencial, cosa que és bona” [br][br]Seth Shostak (doctor en Astrofísica, institut SETI)[br][br][br]
[b]Reflexió previa:[/b][br][br]A què es refereix l’autor d’aquestes paraules quan diu que és dolent, però també bo?[br][br]I per què creieu que el fet que sigui exponencial és especialment dolent?
[i]Per entendre millor a què es refereix, estudiarem les característiques matemàtiques de la funció exponencial.[/i][br][br][br]
Un virus està atacant a la població mundial i en poc temps arriba a casa nostra. En un poble de la nostra comarca, en cert moment es comptabilitzen 10 persones contagiades, però se sospita que aquest virus es transmet de manera que cada persona contagiada, acabarà contagiant a 3 persones més en la propera setmana.[br][br]Si no prenem cap mesura per atacar aquest virus, i es manté aquesta taxa de contagi durant tot el temps, què passarà d’aquí a un mes?
Quants contagiats haurà passat una setmana des del primer contagi?
I passades dues setmanes?
I passades 3 setmanes?
Ara podem contestar, quants contagiats n'hi haurà passat el 1r mes?
Quant de temps trigarà en doblar-se la quantitat de contagis que hi ha passat un mes?
Si la població és de 25000 persones, quant de temps trigaran en estar contagiats tots?
Què penses sobre el creixement de contagis?
De què depèn el nombre de contagis? Per tant, a la nostra funció quines variables seran la x (variable independent) i la y (variable dependent).
[i]Ara intentarem modelitzar aquesta situació, és a dir, trobar una funció matemàtica que ens permeti predir el nombre de contagis. [/i][br][br][br]
Penseu en els càlculs que heu fet per trobar els diferents valors (contagiats) a partir de les setmanes que han passat. Trobeu la funció que permet trobar el nombre de contagiats passats x setmanes.
Quin tipus de funció es genera?
Utilitzeu la funció trobada per calcular, si això passés en una població més gran, quants contagiats haurà després de 2 mesos de malaltia.
Com seria aquesta fórmula si cada mal·lalt contagiés a 4 persones?[br][br]
I si en el moment de començar a comptar-los tinguessin 5 contagiats?[br][br]
Una generalització de la fórmula seria y =[math]k·a^x[/math] en el context d’aquest problema, quina interpretació [br]se li pot donar al valor de k?[br][br]
I al paràmetre a?
Calcular amb precisió la taxa de contagi és complicat i tot i que no varien molt, hi ha petites diferències. A principis de febrer del 2020, diferents investigadors parlaven d’una taxa de contagi del covid entre 2 i 3, mentre que la OMS deia que estava entre 1,4 i 2,5 i un equip xinès parlava de valors que es movien entre 3.3 i 5.5. [br][br]Hem de pensar que aquest coeficient no és un valor absolut, sinó la mitjana de contagis que fa una persona. Per entendre millor com afecta aquest valor al nombre de contagis, farem un anàlisi de la gràfica d’una funció exponencial.[br][br]
La muntanya russa
Quina funció podria servir per modelitzar el recorregut d'una muntanya russa? [br]Alguna de les que ja heu estudiat?[br]Alguna nova?[br]Observa el següent applet i contesta les preguntes.
Hi ha alguna funció que coneguis, la gràfica de la qual s'adapti al recorregut de la muntanya rusa?
Varia els coeficients i observa què passa
Has trobat alguna funció que s'hi assembli al recorregut de la muntanya russa? Escriu la seva expressió algebraica.
Saps quin tipus de funció és?
Recordes el que vas fer a 3r sobre polinomis?[br]Podràs practicar-lo amb el següent Desmos: [br]https://student.desmos.com/activitybuilder/student-greeting/62279023236be23687649308
Observeu la següent gràfica:
Si a l'eix x està representat el temps que fa que ha sortit el cotxet de la muntanya rusa. En quins moments està a la part inferior?
I si en comptes de tenir la gràfica ens diuen que la gràfica correspon a f(x) =[math]\text{x^3-6x^2+11x-5}[/math] Com trobaríem els valors ?
Quina eina matemàtica creus que ens ajudaria a resoldre aquest repte?
Equacions polinòmiques
Tot i que les equacions de 1r o 2n grau també eren equacions polinòmiques, no sabeu resoldre-les més enllà de grau 2, per tant es fa evident que heu de descobrir noves eines per resoldre equacions polinòmiques amb grau major de 2.