trisectie van een hoek

chris cambré, 14.11.2016

Een van de klassieke wiskunde problemen is de trisectie of driedeling van een hoek. Anders gezegd: Kan je een willekeurige hoek in drie verdelen met enkel passer en lineaal als hulpmiddel.

Inhaltsverzeichnis

  1. het probeem
    1. tweedeling van een hoek
    2. benadering van trisectie
    3. zo nauwkeurig als je zelf wil
    4. constructie met meetlat
  2. trisectie met parameterkrommen
    1. trisectie met spiraal van Archimedes
    2. trisectie met limaçon van Pascal
    3. trisectie met de cycloïde van Ceva
    4. de trisectrix van Mac Laurin
    5. trisectie met de quadratrix van Hippias
  3. trisectie met veeltermfuncties
    1. trisectie met parabool
    2. trisectie met derdegraadsfunctie
  4. trisectie met origami
    1. trisectie met origami
  5. curiosa
    1. stelling van Morley
    2. Underwood Dudley

1.

het probeem

Hoe verdeel je een willekeurige hoek in 3? Op het eerste zicht lijkt dit geen probleem, tot je het probeert met enkel een passer en lineaal. De grote namen uit de Griekse Oudheid braken er hun hoofd over en zochten tal van oplossingen.

  • 1. tweedeling van een hoek
  • 2. benadering van trisectie
  • 3. zo nauwkeurig als je zelf wil
  • 4. constructie met meetlat

1.1.

tweedeling van een hoek

Je kunt met een eenvoudige constructie een hoek in twee verdelen:
van twee naar drie
Het in twee delen van een hoek met enkel passer en lineaal is dus geen probleem en toch wilde het in drie delen niet lukken. Het probleem hield wiskundigen bezig van in de oudheid. Het besef dat het niet kon groeide en werd stilaan algemeen voor waar aangenomen. Het duurde tot 1836 eer Pierre Wantzel ook effectief kon bewijzen dat het niet kon.[br]De [url=https://terrytao.wordpress.com/2011/08/10/a-geometric-proof-of-the-impossibility-of-angle-trisection-by-straightedge-and-compass/]meerwaardezoeker[/url] vind hier een Engelstalig artikel dat de logica achter het bewijs beschrijft.
– chris cambré

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

2.

trisectie met parameterkrommen

Verschillende parameterkrommen kunnen gebruikt worden om een hoek in drie te verdelen.

  • 1. trisectie met spiraal van Archimedes
  • 2. trisectie met limaçon van Pascal
  • 3. trisectie met de cycloïde van Ceva
  • 4. de trisectrix van Mac Laurin
  • 5. trisectie met de quadratrix van Hippias

2.1.

trisectie met spiraal van Archimedes

de spiraal van Archimedes
Een Archimedes-spiraal ontstaat wanneer je een punt met constante snelheid laat bewegen langs een lijn die zelf met een constante snelheid ronddraait.
trisectie met spiraal van Archimedes
trisectie met spiraal van Archimedes - alternatief
– chris cambré

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

3.

trisectie met veeltermfuncties

Je kunt ook een hoek in drie verdelen met de grafiek van een tweede- en een derdegraadsfunctie.

  • 1. trisectie met parabool
  • 2. trisectie met derdegraadsfunctie

3.1.

trisectie met parabool

trisectie door Descartes
In zijn boek [b]La Géométrie[/b] uit 1637 illustreert René Descartes hoe je een hoek in drie kunt delen met behulp van een parabool.
– chris cambré

3.2.

–

4.

trisectie met origami

Je kent origami ongetwijfeld als de Japanse kunst van het papier vouwen. Je kunt er de wonderlijkste vormen mee creëren, maar ook kan je er wiskunde mee bedrijven.

  • 1. trisectie met origami

4.1.

trisectie met origami

trisectie met origami
Vertrekkend van een vierkant blad papier, kan je al vouwend een hoek in drie delen.
– chris cambré

5.

curiosa

Trisectie heeft door de eeuwen heen mensen gefascineerd. Sommigen zochten toch naar constructies, anderen formuleerden een verwante stelling.

  • 1. stelling van Morley
  • 2. Underwood Dudley

5.1.

stelling van Morley

Versleep de schuifknop en kijk wat er gebeurt...
Wat bekom je wanneer je de lijnen van de trisectie doortrekt?
Morley met buitenhoeken
Wanneer je niet gewoon de binnenhoeken van een driehoek in drie verdeelt, maar de buitenhoeken, vind je nog extra driehoeken. In volgende afbeelding werden er een aantal geconstrueerd. In het totaal kan je er zelfs 18 vinden.
– chris cambré

5.2.

–

Information