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Geometría
Final project
Table of Contents
- Preface: Geometría
- Introducción a la Geometría y GeoGebra
- Capitulo 1: Preliminares
- Introducción
- Conceptos básicos de la geometría euclideana
- Rectas paralelas, transversales, y tipos de ángulos
- Triángulos I (definición y tipos)
- Triángulos II (Propiedades básicas)
- Congruencia y Semejanza de triángulos
- Teorema de Tales
- Teorema de Pitágoras
- Círculos
- Angulos centrales e inscritos
- Cuadriláteros cíclicos
- Capitulo 2: Ejercicios
- Ejercicio #1
- Ejercicio #2
- Ejercicio #3
- Ejercicio #4
- Ejercicio 5
- Ejercicio 6
- Ejercicio 7 (OMPR 2008)
- Ejercicio 8
- Ejercicio 9
- Ejercicio 10
- Ejercicio 11
- Ejercicio 12
- Ejercicio 13
- Ejercicio 14
- Ejercicio #15
- Ejercicio 16
- Ejercicio 17
- Ejercicio 18
- Ejercicio 19 (México 2005)
- Ejercicio 20
- Ejercicio 21
- Ejercicio 22
- Capitulo 3: Geometry Revisited
- Sección 1.1 - Ley de Senos
- Seccion 1.1 - Ley de Senos (Ejercicios)
- Sección 1.2 - Teorema de Ceva
- Sección 1.2 - Teorema de Ceva (Ejercicios)
- Sección 1.3 - Puntos de interés
- Sección 1.3 - Puntos de interés (Ejercicios)
- Sección 1.4 -El incírculo y excírculos
- Sección 1.4 - El incírculo y excírculos (Ejercicios)
- Sección 1.5 - Teorema de Steiner-Lehmus
- Seccion 1.5 - Teorema de Steiner-Lehmus (Ejercicios)
- Sección 1.6 - Triángulo órtico
- Sección 1.6 - Triángulo órtico (Ejercicios)
- Sección 1.7 - El triángulo medial y la línea de Euler
- Sección 1.7 - Triángulo medial y la línea de Euler (Ejercicios)
- Sección 1.8 - El círculo de nueve puntos
- Sección 1.8 - El círculo de nueve puntos (Ejercicios)
- Sección 1.9 - Triángulo Pedal
- Ejercicio 1.9 - Triángulos pedales
- Sección 2.1 - La potencia de un punto con respecto al círculo
- Sección 2.1 - La potencia de un punto con respecto al círculo (Ejercicios)
- Sección 2.2 - El eje radical de dos círculos.
- Sección 2.2 - El eje radical de dos círculos (Ejercicios)
Introducción a la Geometría y GeoGebra
Geometría
La geometría es una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Esta es considerada la ciencia más vieja de todas, evidenciado por algunos de los filósofos griegos más importantes en la historia: Pitágoras y Euclides. Ellos utilizaron la Geometría para explicar el mundo físico en el que se vive. [br][br]Esta rama se estudia el "manifold" en varias dimensiones: en la primera dimensión, se estudia el punto y línea y en la segunda dimensión se estudian las curvaturas (en esta dimensión cae el estudio de las cosas en la Tierra). Por ejemplo, las teorías de Einstein fueron basadas en estudios geométricos en la cuarta dimension. La geometría tiene muchas aplicaciones concretas al igual que abstractas, como vimos en el ejemplo de Einstein. [br][br]La geometría sirve de uso en muchas ocupaciones de hoy. Lo podemos ver muy reflejado en la ingienería y en la arquitectura.[br][br]Fuente: https://uwaterloo.ca/pure-mathematics/about-pure-math/what-is-pure-math/what-is-geometry
¿Qué es la Geometría?
GeoGebra
GeoGebra es una aplicación educativa desarrollada por un estudiante de doctorado como proyecto de disertación. Geogebra busca unir varias ramas de las matemáticas (Algebra, Estadísticas, Cálculo, y si, Geometría) gráficamente. [br][br]Es una aplicación interactiva y estática, por tanto, además de ser útil para representar datos entrados por separado, también es útil para la construcción y manipulación Geométrica.
Nota Importante
Toda información vista en este libro será utilizando el libro del Dr Cáceres: Congruencia, Semejanza y Concurrencia. Adicionalmente, se utilizará el libro [i]Geometry Revisited[/i] de Coxeter & Greitzer. [br][br]Se especificará en el caso de utilizarse otra fuente adicional a estas.
Introducción
fuente: Chris Olivier [url=https://www.pinterest.com/pin/599471400379751846/]https://www.pinterest.com/pin/599471400379751846/[/url]
Conceptos de la Geometría Básica
En este capítulo preliminar, presentaremos los siguientes conceptos de la rama de Geometría:[br][br][list][*][b]Rectas Paralelas[/b][/*][*][b]Angulos[/b][/*][*][b]Triángulos[/b][/*][*][b]Congruencia y Semejanza[/b][/*][*][b]Teorema de Tales[/b][/*][*][b]Teorema de Pitágoras[/b][/*][*][b]Círculos[/b][/*][*][b]Angulos centrales e inscritos[/b][/*][*][b]Cuadriláteros Cíclicos[/b][/*][/list]
Ejercicio #1
Sabiendo que el área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de las longitudes de sus catetos, hallar el área de un triángulo arbitrario.
[b]Respuesta[/b]: [br]Al tirar la altura de un triángulo arbitrario, este formará un triágulo rectángulo.
Entonces el área del triángulo será [math]A=\frac{1}{2}bh[/math]
Sección 1.1 - Ley de Senos
Teorema
Para un triángulo ABC, con circunradio R,[br][br][math]\frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}=2R[/math][br][br][b]Demostración[/b]: Notemos las siguientes construcciones
Notamos los triángulos ABC, a los cuales construimos un círculo circunscrito con centro O y con radio R.[br][br]Dibujamos el diámetro CJ y la cuerda BJ en ambas figuras. Podemos notar que [math]\angle CBJ[/math] es un ángulo recto, ya que está inscrito al cemicírculo. Esto nos forma un triángulo rectángulo. [br][br]Por lo tanto, en ambas figuras, [br][br][math]senJ=\frac{a}{CJ}=\frac{a}{2R}[/math], donde [math]sen=\frac{opuesto}{hipotenusa}[/math]. [br][br]En la primera figura, tenemos que [math]\angle J=\angle A[/math] ya que ambos ángulos están inscritos al mismo arco del círculo: [math]CB[/math]. [br][br]En la segunda figura, [math]\angle J=180^\circ-\angle A[/math], ya que ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios (donde [math]ABJC[/math] es el cuadrilátero cíclico). [br][br]Adicionalmente, [math]sen\theta=sen\left(180^{\circ}-\theta\right)[/math]. [br][br]Por tanto, [math]sinJ=sinA[/math] en ambas figuras. Por tanto, en ambos casos, [math]senA=\frac{a}{2R}[/math], o sea, [br][br][math]\frac{a}{semA}=2R[/math][br][br]La misma lógica puede ser aplicada para los otros ángulos en el triángulo ABC (¡inténtelo!), resultando en:[br][br][math]\frac{b}{senB}=2R[/math], [math]\frac{c}{senC}=2R[/math][br][br]Combinando estos resultados, obtenemos:[br][br][math]\frac{a}{senA}=\frac{b}{senB}=\frac{c}{senC}=2R[/math]
¡Juegue con los vértices en ambas figuras y compruebe la propiedad utilizando la calculadora!