Vektorrechnung Teil 1: Grundrechenarten
Rechnen mit Vektoren
Table of Contents
- Vektoren im Raum
- Vektoren in 2D
- Betrag eines Vektors
- Addition und Streckung
- Addition von Vektoren (2D)
- Skalare Multiplikation (2D)
- Linearkombinationen
- Basis in 2D
- Linearkombination (2D und 3D)
- Skalarprodukt
- Skalarprodukt 1
- Skalarprodukt 2
- Vektorprodukt
- Vektorprodukt
- Spatprodukt
- Spatprodukt
Vektoren in 2D
[size=150]Gegeben sind die beiden Punkte A und B. Ein Vektor kann durch einen Pfeil dargestellt werden. Mathematisch werden Vektoren mit Hilfe von Zahlen beschrieben. Dabei werden die Zahlen in einer Klammer untereinander (wie in einer Tabelle) notiert. Die Einträge nennt man Komponenten. Im 2D-Raum gibt es 2 Komponenten. Oben steht die x-Komponente und unten steht die y-Komponente.[br]Man unterscheidet zwischen Ortsvektoren und Richtungsvektoren.[br][/size][list][*][size=150]Ortsvektoren sind Vektoren, welche vom Ursprung zu einem Ort (Punkt) zeigen. Ortsvektoren haben also immer den Ursprung als Startpunkt (Basis).[br][/size][/*][*][size=150]Richtungsvektoren sind Vektoren, welche irgendwie im Raum stehen. Richtungsvektoren werden oft zwischen zwei gegebenen Punkten gebildet. Da Richtungsvektoren keinen eindeutigen Startpunkt haben, kann man sie einfach verschieben.[/size][/*][/list]
1. Aufgabe
Lass dir die Koordinaten der Punkte A und B anzeigen und auch die Ortsvektoren zu A und B.[br]Vergleiche die Koordinaten der Punkte mit den Komponenten der Ortsvektoren. Wie hängen die Zahlen voneinander ab?
2. Aufgabe
Lass dir nun einen Richtungsvektor anzeigen. Wie findet man die Komponenten des angegebenen Richtungsvektors? Was bedeuten die x- und was bedeuten die y-Komponenten?
3. Aufgabe
Wie lassen sich die Komponenten des angegebenen Richtungsvektors aus den Koorinaten der Punkte berechnen?
4. Aufgabe
Wie lassen sich Orsvektoren und Richtungsvektoren anhand der angegebenen Zahlen unterscheiden?
5. Aufgabe
Mit dem Anzeigen des Richtungsvektors wurde ein zweiter, identischer Richtungsvektor gezeichnet. Dieser Richtungsvektor lässt sich an der Basis verschieben. [br]Wie verändern sich die Zahlenwerte beziehungsweise die Länge und die Richtung des Vektors wenn man ihn verschiebt?
6. Aufgabe
Lässt sich aus dem Richtungsvektor ein Ortsvektor machen?
7. Aufgabe
Lass dir nun den anderen Richtungsvektor anzeigen. Was verändert sich in der Graphik und wie sieht man das in den Komponenten?
8. Aufgabe
Lass dir nun neue Punkte erzeugen. Bestimme, ohne dass du dir die Zahlen anzeigen lässt, deren Koordinaten, die Komponenten der Ortsvektoren und die Komponenten eines Richtungsvektors zwischen den beiden Punkten.[br]Verifiziere deine Ergebnisse mit Hilfe der entsprechenden Anzeige im Applet.
9. Aufgabe
Hier haben wir uns im 2D-Raum mit Vektoren beschäftigt. Normalerweise werden wir aber Vektoren im 3D-Raum behandeln. Mache dir zu folgenden Stichworten Gedanken, was und wie es sich verändert, wenn wir in 3 Dimensionen wechseln.[list][*]Vektorpfeil (geometrisch)[/*][*]Komponenten eines Vektors[/*][*]Ortsvektor[br][/*][*]Richtungsvektor[/*][/list]
Addition von Vektoren (2D)
[size=100][size=150]Gegeben sind die drei Vektoren [math]\vec{a}[/math], [math]\vec{b}[/math] und [math]\vec{c}[/math], welche an ihrer Basis im Gitter verschoben werden können.[br]Ausserdem gibt es den Vektor [math]\vec{v}[/math], dessen Basis und Spitze verschoben werden können. Damit lässt sich Länge und Richtung dieses Vektors einstellen.[br]Auf der rechten Seite findet man eine Rechnung, die mit Hilfe der Vektoren gelegt werden soll.[/size][/size]
1. Aufgabe
Löse mit Hilfe der gegebenen Vektoren drei nacheinanderfolgende Aufgaben. Untersuche dabei, wie sich das Drehen der Vektoren auf die Zeichnung auswirkt. [br]Wie müssen Vektoren (graphisch) addiert beziehungsweise subtrahiert werden?
2. Aufgabe
Lass dir die Zahlenwerte anzeigen und bestimme wie man durch reines Rechnen auf die Komponenten des Summenvektors gelangt. Überprüfe deine Rechnung jeweils durch Abzählen der Häuschen des Summenvektors [math]\vec{v}[/math].
Basis in 2D
[size=150]Gegeben sind die beiden Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math]. [br]Durch skalare Multiplikation und addition wird eine so genannte Linearkombination erstellt.[/size][br]
1. Aufgabe
Lass dir die Linearkombination anzeigen und verändere die Schieberegler. Beobachte wie sich der resultierende Vektor [math]\vec{r}[/math] verändert.[br]Wie lässt sich das Verhalten des resultierenden Vektors beschreiben, wenn lediglich einer der Skalare verändert wird?
2. Aufgabe
Mit Hilfe der Schalter lässt sich der Span der beiden Vektoren ein oder ausblenden. Der Span von Vektoren umfasst alle Punkte, welche durch eine Linearkombination der Vektoren erreicht werden kann.[br]Wie sieht der Span der beiden gegebenen Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] aus?
3. Aufgabe
Verändere die Basisvektoren derart, dass der Span der beiden Vektoren nicht mehr den gesamten Raum ausfüllt. [br]Welche Eigenschaften haben dann die Vektoren?
4. Aufgabe
Wähle nun die Standardbasis aus.[br]Welche Eigenschaft hat die Standardbasis?
5. Aufgabe
Lassen sich die Erkenntnisse aus diesem Applet für den 3-dimensionalen Fall verallgemeinern? [br]Was ändert sich, was bleibt gleich?
Skalarprodukt 1
[size=150]Im Gegensatz zur Addition von Vektoren ist die Multiplikation nicht so offensichtlich. Durchgesetzt haben sich das so genannte Skalarprodukt und das Vektorprodukt.[br]Im Folgenden wollen wir das Skalarprodukt etwas genauer untersuchen. Das Ergebnis des Skalarprodukts ist ein Skalar (eine Zahl) und kein Vektor! [/size]
1. Aufgabe
Lass dir die Projektionen anzeigen und untersuche das Ergebnis indem du die Punkte A oder B verschiebst. Wie wird der projezierte Vektor [math]\vec{a_b}[/math] beziehungsweise [math]\vec{b_a}[/math] konstruiert und wie lang ist dieser Vektor?
2. Aufgabe
Neben den beiden eingezeichneten Vektoren wird jeweils ein Rechteck gezeichnet. Wie kommen diese Recktecke zustande (Länge und Breite)?[br]Die jeweiligen Projektionen können bei der Untersuchung helfen.
3. Aufgabe
Wie verhält sich die grüne Rechtecksfläche zur roten?
4. Aufgabe
Für stumpfe Zwischenwinkel [math]\alpha[/math] wird der Kosinus negativ. Dadurch wird das gesamte Skalarprodukt negativ. Wie lässt sich dies geometrisch deuten?[br]Lasse dir dazu die Vorzeichendiskussion anzeigen und untersuche die Gegebenheit mit dem Applet.
5. Aufgabe
Wann wird das Skalarprodukt Null und wann ist es maximal? Wie sieht man das graphisch?
Vektorprodukt
Das Ergebnis eines Vektorprodukts ist ein Vektor. Analog zum Skalarprodukt hat auch das Vektorproduklt etwas mit einem Flächeninhalt zu tun. Dabei handelt es sich aber nicht um die gleiche Fläche![br]Gegeben sind beiden Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math]. Das Vektorprodukt [math]\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}[/math] berechnet einen Vektor [math]\vec{n}[/math], der senkrecht auf die beiden Ursprungsvektoren steht. Ausserdem entspricht die Länge dieses Vektors [math]\left|\vec{n}\right|[/math] der Fläche G des von [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] aufgespannten Parallelogramms.
1. Aufgabe
Verändere den Zwischenwinkel [math]\gamma[/math] und beobachte was passiert. [br]Was bezeichnet dieser Winkel und bei welchen Winkeln passiert etwas spezielles?
2. Aufgabe
Verändere nun die Längen der Vektoren a und b. Bei welchen Einstellungen gibt es Spezialfälle?
3. Aufgabe
Wie berechnet man die Fläche des Parallelogramms, das von den Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] aufgespannt wird, ohne das Vektorprodukt zu verwenden?
Spatprodukt
Gegeben sind drei Vektoren [math]\vec{a}[/math], [math]\vec{b}[/math] und [math]\vec{c}[/math]. Das Spatprodukt [math]V=\left|\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\bullet\vec{c}\right|[/math] berechnet direkt das Spatvolumen. Dazu wird das Vektorprodukt, [math]\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}[/math] und dann das Skalarprodukt [math]\vec{n}\bullet\vec{c}[/math] berechnet.
1. Aufgabe
Betrachte den gezeichneten Spat. Finde heraus was die Schieberegler verändern.
2. Aufgabe
Bei einem Spat wird die Grundfläche von zwei der drei Vektoren aufgespannt. Man kann wählen welche beiden Vektoren die Grundfläche sein sollen. Wähle als erstes die Grundfläche, die von [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] aufgespannt wird. Wie berechnet man den Betrag dieser Grundfläche?
3. Aufgabe
Lass dir nun den Normalenvektor [math]\vec{n}[/math] im Bild anzeigen. Für die Berechnung des Volumens muss die Höhe [math]h[/math] des Spats bekannt sein. Wie kann man diese Höhe berechnen?
4. Aufgabe
Lass dir nun auch die Höhe anzeigen (Projektion) und stelle eine Formel zur Berechnung des Spatvolumens mit Hilfe der drei Vektoren [math]\vec{a}[/math], [math]\vec{b}[/math] und [math]\vec{c}[/math], indem du die Erkenntnisse der letzten Aufgaben benutzt.
5. Aufgabe
Lass dir nun die Grundfläche, die von [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{c}[/math] aufgespannt wird, anzeigen. Überlege dir dann wie das Spatvolumen mit dieser Grundfläche berechnet wird. Zeige, dass das Ergebnis identisch bleibt.
6. Aufgabe
Finden Sie Einstellungen, für die das Spatprodukt Null ist? Finde auch nicht triviale Fälle!