Eine Ebene [math]\mathbf{E}[/math], welche die Möbiusquadrik in einem reellen Kreis schneidet, besteht in [math]\large\mathcal{ G} [/math] aus sich schneidenden Geraden, welche eine reelle Unteralgebra [math]\large\mathcal{ K} [/math] der LIE-Algebra bilden; dazu gehört die reelle Zerlegung [math]\large\mathcal{ G}= \large\mathcal{ K}\oplus_{\mathbb{R}} i\cdot\large\mathcal{ K} [/math]. Die Geraden aus [math]i\cdot\large\mathcal{ K} [/math] gehen durch den Pol [math]\mathbf{P_E}[/math] der Ebene und projizieren die Punkte auf der Möbiusquadrik paarweise auf das Innere des Kreises. [br]Im "Kreisscheiben"-Modell der [i]hyperbolischen Ebene[/i] von [i][b]Beltrami [/b][/i]und [i][b]F. Klein[/b][/i] sind "hyperbolische Punkte" die im Inneren des Kreises liegenden Punkte und "hyperbolische Geraden" die im Inneren liegenden Sehnen. [br]Einige Aussagen der vorangegangenen Seite über Dualität treffen auf die so reduzierten Punkte und Geraden nicht mehr zu: "Geraden" müssen sich nicht mehr schneiden, aber auch das euklidische Parallelenaxiom ist nicht mehr gültig: zu einer Geraden [math]\mathbf\vec{g}[/math] und einem nicht auf dieser Geraden liegenden Punkt [math]\mathbf\vec{P}[/math] gibt es verschiedene [math]\mathbf\vec{g}[/math] nicht-schneidende Geraden durch [math]\mathbf\vec{P}[/math] .[br][br]Im obigen Applet ist links das [i]Kreisscheiben[/i]-Modell der hyperbolischen Ebene angezeigt: die Punkte [math]\mathbf\vec{A}, \mathbf\vec{B}\mbox{ und }\mathbf\vec{Q} [/math] und mit ihnen die Geraden [math]\mathbf\vec{g}, \mathbf\vec{h}[/math] sind beweglich. Den Geraden entsprechen in der 3D-Graphik zwei Ebenen durch den Pol [math]\mathbf{P_E}\mbox{ von } \mathbf{E} [/math], welche die Möbiusquadrik in zwei zum absoluten Kreis orthogonalen Kreisen schneiden. [br]In der 3D-Graphik ist zusätzlich ein euklidisches KOS [math]\mathbf\vec{p}_\infty, \mathbf\vec{g}_0, \mathbf\vec{p}_0[/math] angedeutet, deren Gerade [math]\mathbf\vec{g}_0[/math] durch den Pol [math]\mathbf{P_E}[/math] geht. Von [math]\mathbf\vec{p}_\infty [/math]aus werden der absolute Kreis und die beiden dazu orthogonalen Kreise stereographisch in die rechte 2D-Graphik projiziert. [br]Man erhält auf diese Weise das [i][b]Poincarésche Kreismodell[/b][/i] der hyperbolischen Ebene: "Geraden" sind die im Inneren verlaufenden Kreisbögen von orthogonalen Kreisen. Die Winkel zwischen zwei "Geraden" sind die Winkel zwischen den Kreisen.[br]Würde man [math]\infty[/math] auf dem absoluten Kreis wählen, erhielte man das [i][b]Poincarèsche Halbebenen-Modell[/b][/i] der hyperbolischen Ebene: der absolute Kreis ist dann meist die x-Achse, die Punkte liegen in der oberen Halbebene, die Geraden sind die in der oberen Halbebene verlaufenden orthogonalen Kreisbögen.

[b]Abstand und Winkel[/b][br][math]\mathbf{d}:=\left|\frac{1}{2}\cdot \mathbf{ln}\left(\frac{\mathbf\vec{g}_{1}\bullet \mathbf\vec{g}_{2}+\sqrt{-\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)}}{\mathbf\vec{g}_{1}\bullet \mathbf\vec{g}_{2}-\sqrt{-\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)}}\right)\right|[/math] mißt den [i]hyperbolischen Abstand[/i] zweier "Punkte" [math] \mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\in i\cdot\large\mathcal{ K} [/math] bzw. zweier "Geraden" aus [math]\large\mathcal{ K} [/math], falls die Diskriminante [math]\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)[/math] negativ ist, das ist der Fall, wenn sich [math] \mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}[/math] außerhalb der Möbiusquadrik schneiden.[br][br][math]\mathbf{\varphi}:=\left|\frac{i}{2}\cdot \mathbf{ln}\left(\frac{\mathbf\vec{g}_{1}\bullet \mathbf\vec{g}_{2}+\sqrt{-\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)}}{\mathbf\vec{g}_{1}\bullet \mathbf\vec{g}_{2}-\sqrt{-\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)}}\right)\right|[/math] mißt den [i]hyperbolischen Winkel[/i] zwischen [math] \mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\in\large\mathcal{ K}[/math], falls [math]\Delta\left(\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}\right)[/math] positiv ist, also wenn sich [math] \mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}[/math] innerhalb der Möbiusquadrik schneiden.[br]Man vergleiche dazu [b]4.9 Doppelverhältnis und Wurzel 1[/b].[br][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]