円錐曲線の性質と活用

Bunryu Kamimura, Jun 26, 2015

円錐曲線（円・楕円・放物線・双曲線）は様々なところで使われています。 どんな性質があるのでしょうか。

Table of Contents

  1. 円錐曲線とは？
    1. 円錐曲線conic curve
    2. 円錐の切断で放物線
    3. 円錐の切断（放物線）
    4. 放物線と双曲線の性質
    5. 円錐の切断
    6. 円錐の切断⇒楕円
    7. 円錐の切断で双曲線
    8. 円錐の切断　双曲線の焦点
    9. 双曲線の性質
    10. 円錐曲線　楕円→双曲線
    11. 二次曲線　楕円→双曲線→放物線
    12. 楕円（円錐曲線）の外接三角形
  2. 楕円水槽で焦点を見る
    1. 楕円の性質Oval
    2. 楕円の性質
    3. 楕円水槽の動画
    4. 楕円水槽
    5. 楕円の焦点
    6. 双曲線水槽の反射
    7. 放物線水槽の反射
  3. 楕円・放物線の描き方
    1. 紐で楕円を描くAn oval is drawn by string
    2. わっかで楕円を作図An oval by string of a circle
    3. 楕円の折り方
    4. 円を折ってできる線の跡（包絡線）
    5. 放物線の折り方
    6. 直線と点で作る放物線
    7. 包絡線が描く双曲線
    8. 楕円の対称性を用いた作図
  4. 円の利用
    1. 振子の運動　Movement of a pendulum
  5. 楕円の利用
    1. 惑星の楕円運動　Oval movement in Planets
    2. 円錐の切断⇒楕円
    3. 円を斜めから見ると・・・
  6. 放物線の利用
    1. 砲丸投げ（パラボライド）Parabolaid
    2. パラボライド２
    3. 放物線の性質
    4. 二次関数の焦点
    5. ３－Ｄミラスコープの実像を結ぶ実験 Mira scope
    6. 放物水槽
  7. 双曲線の利用
    1. 反比例の性質　inverse proportionality
    2. 天秤の原理と反比例 principle of leverage
    3. ロラン航法
    4. 二つの波紋の干渉（双曲線）
    5. エッシャーの絵と双曲線
    6. 双曲面ライト
    7. 反比例のグラフの焦点
    8. 外接四辺形の作図の仕方
    9. 双曲線の漸近線の描き方

1.

円錐曲線とは？

円錐曲線とは円錐を、平面で切断したときにできる切り口の曲線を言います。

  • 1. 円錐曲線conic curve
  • 2. 円錐の切断で放物線
  • 3. 円錐の切断（放物線）
  • 4. 放物線と双曲線の性質
  • 5. 円錐の切断
  • 6. 円錐の切断⇒楕円
  • 7. 円錐の切断で双曲線
  • 8. 円錐の切断　双曲線の焦点
  • 9. 双曲線の性質
  • 10. 円錐曲線　楕円→双曲線
  • 11. 二次曲線　楕円→双曲線→放物線
  • 12. 楕円（円錐曲線）の外接三角形

1.1.

円錐曲線conic curve

円錐を切断したときにできる曲線を円錐曲線といいます。[br]焦点（中心）が二つに分かれ、一つが左へ遠ざかって、無限に遠くなり、やがて右側の無限から出てきて、もう一方の焦点にだんだん近づいていく。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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1.3.

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1.4.

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1.5.

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1.6.

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1.7.

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1.8.

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1.9.

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1.10.

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1.11.

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1.12.

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2.

楕円水槽で焦点を見る

楕円で水槽を作ります。 一方の焦点に水滴を落とすと、波紋が広がります。 その波紋は・・・・？ なぜ焦点に集まるのかは、その性質にあります。

  • 1. 楕円の性質Oval
  • 2. 楕円の性質
  • 3. 楕円水槽の動画
  • 4. 楕円水槽
  • 5. 楕円の焦点
  • 6. 双曲線水槽の反射
  • 7. 放物線水槽の反射

2.1.

楕円の性質Oval

楕円の性質
接線に対する楕円の鏡映を作図してみよう。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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3.

楕円・放物線の描き方

楕円の描き方は、焦点からの距離を一定にするように、紐を引っ張って描くことです。 焦点が一つになれば円になります。 焦点の間をいろいろ変えてみましょう。 また、紙を折るだけの描き方もあります。

  • 1. 紐で楕円を描くAn oval is drawn by string
  • 2. わっかで楕円を作図An oval by string of a circle
  • 3. 楕円の折り方
  • 4. 円を折ってできる線の跡（包絡線）
  • 5. 放物線の折り方
  • 6. 直線と点で作る放物線
  • 7. 包絡線が描く双曲線
  • 8. 楕円の対称性を用いた作図

3.1.

紐で楕円を描くAn oval is drawn by string

紐で楕円を描く
紐で楕円を描くAn oval is drawn by string
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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3.8.

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4.

円の利用

  • 1. 振子の運動　Movement of a pendulum

4.1.

振子の運動　Movement of a pendulum

振子の長さを変えてみよう[br]どんな法則が見つかるか
振子の運動　Movement of a pendulum
– Bunryu Kamimura

5.

楕円の利用

惑星の公転運動は楕円を描きます。 太陽との間に万有引力の法則を当てはめれば、必然的に楕円になるのですが、他の惑星の引力などを考えると、もっと複雑になってきます。 ここでは、太陽との距離に速度が反比例するように設定しました。惑星の質量は関係ありません。

  • 1. 惑星の楕円運動　Oval movement in Planets
  • 2. 円錐の切断⇒楕円
  • 3. 円を斜めから見ると・・・

5.1.

惑星の楕円運動　Oval movement in Planets

公転速度は太陽との距離に反比例します。Kepler's Law[br]楕円の大きさや焦点を動かしてみてください。
惑星の楕円運動　Oval movement in Planets
– Bunryu Kamimura

5.2.

–

5.3.

–

6.

放物線の利用

放物線の性質は焦点が一つであることです。 楕円でやったように、波は焦点に集まります。 これを使って、アンテナとして放物線を利用できます。

  • 1. 砲丸投げ（パラボライド）Parabolaid
  • 2. パラボライド２
  • 3. 放物線の性質
  • 4. 二次関数の焦点
  • 5. ３－Ｄミラスコープの実像を結ぶ実験 Mira scope
  • 6. 放物水槽

6.1.

砲丸投げ（パラボライド）Parabolaid

砲丸投げ（パラボライド）[br]どの角度が一番遠くへ飛ぶか
砲丸投げ（パラボライド）Parabolaid
– Bunryu Kamimura

6.2.

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6.3.

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6.4.

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6.5.

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6.6.

–

7.

双曲線の利用

  • 1. 反比例の性質　inverse proportionality
  • 2. 天秤の原理と反比例 principle of leverage
  • 3. ロラン航法
  • 4. 二つの波紋の干渉（双曲線）
  • 5. エッシャーの絵と双曲線
  • 6. 双曲面ライト
  • 7. 反比例のグラフの焦点
  • 8. 外接四辺形の作図の仕方
  • 9. 双曲線の漸近線の描き方

7.1.

反比例の性質　inverse proportionality

反比例の性質
反比例の性質　inverse proportionality
– Bunryu Kamimura

7.2.

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7.3.

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7.4.

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7.5.

–

7.6.

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7.7.

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7.8.

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7.9.

–

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