[u]Exercício[/u]: Um círculo c de raio r e centro [math]O_2[/math], rola externamente sobre um círculo fixo C, de raio R e centro [math]O[/math]. Um ponto P da circunferência c descreve uma Epiciclóide. Supondo que para o tempo t=0 o ponto P da circunferência c está em contato com a circunferência C obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é a Epiciclóide.[br][br]Para começar construímos o círculo de centro na origem e raio R, que é o círculo fixo do exercício. Depois de centro na origem construímos o círculo de raio R+r, onde estará o centro [math]O_2[/math] da circunferência de raio r. Aqui lembramos que queremos que a circunferência de raio r deverá rolar sobre a circunferência de raio R, o que faremos com o uso controle deslizante [math]\alpha[/math], logo seu centro terá coordenadas [br][br][math]O_2=O+\left(\left(R+r\right)\cdot cos\left(\alpha\right),\left(R+r\right)\cdot sen\left(\alpha\right)\right)[/math][br][br]Queremos determinar o ponto P, sobre a circunferência de centro [math]O_2[/math] de forma que [br][math]L_R=L_r[/math][br][br]Para isso, vamos primeiro determinar a medida do ângulo [math]\gamma[/math], que satisfaça a igualdade anterior, lembremos que [math]L_R=R\cdot\alpha[/math] e que [math]L_r=r\cdot\gamma[/math], logo, [math]\gamma=\left(\frac{R}{r}\right)\cdot\alpha[/math]. Construímos então este ângulo e obtemos assim o ponto P. O lugar geométrico deste ponto é a curva Epiciclóide.[br][br]Para obter a parametrização da curva, precisamos determinar as coordenadas do ponto, para isso precisamos considerar que ao alterarmos o valor de [math]\alpha[/math] , o arco que P percorre sobre o círculo de centro [math]O_2[/math] equivale ao ângulo [math]\alpha+\gamma[/math], por esta razão a parametrização da Epiciclóide é dada por:[br][br][math]P\left(t\right)=O+\left(\left(R+r\right)\cdot cos\left(t\right)-r\cdot cos\left(t\cdot\left(\frac{R+r}{r}\right)\right),\left(R+r\right)\cdot sen\left(t\right)-r\cdot sen\left(t\cdot\left(\frac{R+r}{r}\right)\right)\right)[/math][br][br]Se eu quiser as coordenadas do ponto P, basta na equação acima trocar t por [math]\alpha[/math], os cálculos forma feitas pensando em obter as coordenadas do ponto P, e ao final foi feita apenas a troca de parâmetro.[br][br]Na construção abaixo n determina o número de voltas que o círculo de centro [math]O_2[/math] dá em torno do círculo fixo.[br][br]