Mit diesem interaktiven Arbeitsblatt bestimmst du die Eulersche Zahl e grafisch und lernst die Exponentialfunktion [math]f(x) = e^x[/math] kennen.[br]Zuvor solltest du das Arbeitsblatt "Ableitung von Exponentialfunktionen" bearbeitet haben.

[list=1][br][*] Stelle die gewünschte Basis a mit dem roten Schieberegler ein.[br][*] Ziehe den Ziehpunkt auf dem Graphen entlang und beobachte dabei die Tangente a[br][*] Die Steigung der Tangente an einer Stelle x ist bekanntlich der Wert der Ableitung an dieser Stelle. Den Wert der Steigung (bzw. der Ableitung) bekommst du angezeigt, wenn du das Kästchen "Steigungsdreieck anzeigen" aktivierst.[br][*] Wir bilden nun grafisch die Ableitungsfunktion: Eigentlich müsste man eine Wertetabelle anlegen: Als x-Werte jeweils die x-Werte des Ziehpunktes und als zugehörige y-Werte die Tangentensteigungen an diesen Stellen. Dann könnte man die Funktion zeichnen. Wir benutzen diese Idee, lassen uns aber die Punkte für den Graphen der Ableitungsfunktion direkt vom Computer einzeichnen (Kästchen "Steigung als y-Wert abtragen" aktivieren).[br][*] Der "Spurpunkt" ist nun ein Punkt der Ableitungsfunktion. Er zeigt mit seinem y-Wert (grüne Linie) genau die Ableitung der roten Funktion an der Stelle x an, an der sich der Ziehpunkt gerade befindet. Wenn man nun den Ziehpunkt weiter zieht, so passt sich auch der Spurpunkt entsprechend an. D. h. er fährt sozusagen auf dem Graphen der Ableitungsfunktion entlang.[br][*] Diesen Graphen der Ableitungsfunktion kannst du auch sichtbar machen, indem du den Spurpunkt mit Rechts anklickst und im Kontextmenü "Spur an" auswählst. Wenn du nun mit dem Ziehpunkt hin und her fährst, malt der Spurpunkt den Graphen der Ableitungsfunktion.[br][*]Es sieht wohl ganz danach aus, dass die Ableitung einer Exponentialfunktion wieder eine Exponentialfunktion ist. Die Frage ist: Was für eine genau? Wir suchen nun die Funktionsgleichung der Ableitung:[br][list][br][*] Der Graf der Ableitungsfunktion geht nicht durch den Punkt (0|1). Also kann es keine Funktion der Form [math]f'(x) = a^x[/math] sein.[br][*] Vertikal verschoben ist der Graph auch nicht. Das sieht man daran, dass im negativen Bereich sich die Graphen der Funktion und der Ableitung fast decken.[br][*] Der Graph könnte allerdings gestaucht bzw. gestreckt sein. Das würde eine Funktionsgleichung [math]f'(x) = c a^x[/math] nahe legen.[br][/list][br][*] Aktiviere das Kästchen "zweite Funktion anzeigen". Versuche nun mit dem pinken Schieberegler c so einzustellen, dass sich der pinke Funktionsgraph mit dem Graphen der Ableitung deckt. Die Funktionsgleichung der pinken Funktion ist also die gesuchte Gleichung der Ableitung[br][/list][br][br]Stefan Eckert, Erstellt mit GeoGebra