[br][img width=550,height=529]http://data.sur.mn/8bd5c9dd-5141-4d46-9b8a-6ff129e9f9b5.png[/img][br][br][br][b]Теорем-1:[/b] /Братшнейдерийн теорем/ [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;ABCD[/img] дөрвөн өнцөгтийн хувьд  [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;(ef)^2=(ac)^2+(bd)^2-2abcd\cdot&space;\cos&space;(\beta&space;+\gamma&space;)[/img] (2) тэнцэтгэл биелэгдэнэ. Үүнийг дөрвөн өнцөгтийн хувь дахь Косинусын теорем гэж нэрлэдэг. [br]Баталгаа-1. [br][br][b]Теорем-2:[/b] /Птолемейн тэнцэтгэл биш/ Дурын  [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;ABCD[/img] дөрвөн өнцөгтийн хувьд  [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;AC\cdot&space;BD&space;\leq&space;AB\cdot&space;CD+BC\cdot&space;DA(1)[/img] тэнцэтгэл биш биелэгдэнэ. [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;ABCD[/img] дөрвөн өнцөгт тойрогт багтсан үед л (1) тэнцэтгэл биш тэнцэлд хүрнэ. [br][b]Баталгаа-1. [/b][br][img width=545,height=420]http://data.sur.mn/8ef5028d-c286-4cc1-8b35-31b75d251a9c.png[/img][br][br][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;A,B[/img] оройгоос  [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;BD,AC[/img] диагоналуудад  [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;X,Y[/img] цэгүүдийг  [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;\measuredangle&space;XAB=\measuredangle&space;DAC,\measuredangle&space;YBA=\measuredangle&space;DCA[/img] байхаар авья. [br][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;AX\bigcap&space;BY=E\Rightarrow&space;\measuredangle&space;BAC=\measuredangle&space;EAD\Rightarrow&space;\Delta&space;ABE\simeq&space;\Delta&space;ACD\Leftrightarrow[/img][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{AD}\Leftrightarrow&space;AB\cdot&space;CD=AC\cdot&space;BE(*)[/img][br]мөн[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;\Delta&space;AED\simeq&space;\Delta&space;ABC\Leftrightarrow&space;\frac{AD}{AC}=\frac{ED}{BC}\Leftrightarrow&space;AD\cdot&space;BC=AC\cdot&space;ED(**)[/img] болно. [br][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;(*),(**)[/img] харгалзуулан нэмбэл [br][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;AB\cdot&space;CD+DA\cdot&space;BC=AC\cdot&space;(BE+ED)\geq&space;AC\cdot&space;BD[/img] байна. Үүнд: [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;BE+ED%3EBD[/img][br][b]Баталгаа-2.[/b] (2) томъëоноос  [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;\cos&space;(\beta&space;+\gamma&space;)\geq&space;-1[/img] гэж орлуулхад батлах зүйл гарна. [br][br][b]Теорем-3:[/b]/Птолемейн теорем/ Гүдгэр дөрвөн өнцөгтийг тойрогт багтааж болох гарцаагүй бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь диагоналиудын үржвэр нь эсрэг орших талуудын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байх явдал юм. [br]Баталгаа[br][br]Теорем-4:/Брахмагүпийн томьëо/ [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot&space;\cos^2&space;(\frac{\beta&space;+\gamma&space;}{2})}[/img]  байна. [br]Үүнд: [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;p=\frac{a+b+c+d}{2}[/img]