[b]Differentialgleichung zum Laden eines Kondensators[/b][br][br]Es gilt die Maschenregel: [math]U_R + U_C - U_0 = 0[/math][br][br]Gesucht ist der zeitliche Verlauf der Spannung am Kondensator.[br]Mit [math]Q = C·U[/math] und [math]U_R = R·I[/math] folgt[br][br][center][math]R·I + U(t) - U_0 = 0[/math][br][math]R·\frac{dQ}{dt} + U(t) - U_0 = 0[/math][/center]und damit[br][center][math]R·C·U'(t) + U(t) - U_0 = 0 [/math] [br][br][math]U'\left(t\right)=\frac{U_0}{R\cdot C}-\frac{1}{R\cdot C}\cdot U[/math][/center]Zur Lösung der Differentialgleichung siehe unten.

[math]U'\left(t\right)=\frac{U_0}{R\cdot C}-\frac{1}{R\cdot C}\cdot U[/math][br][br]Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung besteht aus der Summe einer (beliebigen) partikulären Lösung der inhomogenen DGL und der allgemeinen Lösung der zugeordneten homogenen DGL.[br][br][math]U\left(t\right)=U_p\left(t\right)+U_h\left(t\right)[/math][br][br]Ansatz:[br][math]U_p\left(t\right)=A[/math][br][math]U_h\left(t\right)=c\cdot e^{-\frac{t}{R\cdot C}}[/math][br][br]Aus [math]U_p\left(t\right)=A[/math] folgt [math]U'\left(t\right)=0=\frac{U_0}{R\cdot C}-\frac{1}{R\cdot C}\cdot A[/math] und daraus [math]A=U_0[/math][br][br]Somit ist [math]U\left(t\right)=U_0 + c\cdot e^{-\frac{t}{R\cdot C}}[/math].[br][br]Mit der Anfangswertbedingung [math]U\left(0\right)=0[/math] kann der Faktor c berechnet werden:[br][math]U\left(0\right) = U_0 + c\cdot e^{-\frac{0}{R\cdot C}} = U_0 + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = -U_0[/math][br][br]Insgesamt ergibt sich somit[br][math]U\left(t\right)=U_0 - U_0 \cdot e^{-\frac{t}{R\cdot C}} = U_0 \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{R\cdot C}} \right)[/math].