[br][list][*]Ein Vektor [math]\mathbf\vec{g}\in \large\mathcal{ G} [/math] ist eine [i]Gerade[/i] genau dann, wenn [math]\mathbf\vec{g}\bullet \mathbf\vec{g}=\mathbf\vec{g}\,^2\in\mathbb{R}[/math] gilt,[br]und zwar [math] \left\{\begin{matrix}\mbox{schneidet}\\ \mbox{berührt}\\ \mbox{meidet}\end{matrix}\right\}[/math] die Gerade [math]\mathbf\vec{g} [/math] die Möbiusquadrik, wenn [math] \left\{\begin{matrix}\mathbf\vec{g}\,^2<0\\\mathbf\vec{g}\,^2=0\\\mathbf\vec{g}\,^2>0\end{matrix}\right\}[/math] ist.[br][/*][*] Ist [math]\mathbf\vec{g} [/math] eine Gerade, so ist [math]i\cdot\mathbf\vec{g} [/math] die [i]polare Gerade[/i].[/*][br][*]Schnittgeraden erzeugen [i]elliptische[/i] Kreisbüschel, [br]deren polare Geraden erzeugen [i]hyperbolische[/i],[br]Berührgeraden erzeugen [i]parabolische[/i] Kreisbüschel. [br]Dabei entstehen die Kreise als Schnitte der Ebenen durch die Gerade.[br][/*][br][*]Ist [math]\mathbf\vec{p} [/math] eine [i]Berührgerade[/i], so sind [math]e^{i\cdot\varphi}\cdot\mathbf\vec{p}\mbox{ für }\varphi\in\mathbb{R}[/math] Berührgeraden, welche die Möbiusquadrik in demselben Berührpunkt berühren. Durch die Multiplikation mit [math]e^{i\cdot\varphi}[/math] wird ein Drehsinn für die Berührgeraden erklärt.[br][/*][br][*] Zwei Geraden [math]\mathbf\vec{g}_{1}, \mathbf\vec{g}_{2}[/math] schneiden sich, falls neben [math]\mathbf\vec{g}_1\,^2\in\mathbb{R}[/math] und [math]\mathbf\vec{g}_2\,^2\in\mathbb{R}[/math] auch [math]\mathbf\vec{g}_1\bullet \mathbf\vec{g}_2\in\mathbb{R} [/math] gilt.[/*][br][*]Eine [i]Schnittgerade[/i] [math]\mathbf\vec{g},\left(\mbox{ d.h. es gilt } \mathbf\vec{g}\,^2<0\right)[/math] und eine [i]Berührgerade[/i] [math]\mathbf\vec{p},\left(\mbox{ d.h. es gilt } \mathbf\vec{p}\,^2=0\right)[/math] schneiden sich im Berührpunkt, falls [math]\mathbf\vec{g}\bullet \mathbf\vec{p}=0 [/math] gilt. [br][/*][br][*]Zu jedem [math]\mathbf\vec{g}\in \large{\mathcal{ G}} \mbox{ mit }\mathbf\vec{g}\,^2\ne0[/math] gibt es zwei verschiedene komplexe Vektoren [math]\mathbf\vec{p}_1,\,\mathbf\vec{p}_2\in \large{\mathcal{ G}}[/math] mit [math]\mathbf\vec{p}_1\,^2=0\mbox{, } \mathbf\vec{p}_2\,^2=0[/math], [math]\mathbf\vec{p}_1\bullet \mathbf\vec{p}_2\ne0 [/math] und [math]\mathbf\vec{g}\bullet \mathbf\vec{p}_i=0, i=1,2 [/math]. Für diese Vektoren gilt dann [math] \mathbf\vec{g}=w\cdot\left[\,\mathbf\vec{p}_1,\mathbf\vec{p}_2\,\right] [/math] mit einem geeigneten [math]w\in\mathbb{C}[/math]. [br][i]Begründung[/i]: Die Gleichung [math]\mathbf\vec{g}\bullet \mathbf\tilde\vec{g}=0 [/math] hat zwei verschiedene [i]isotrope[/i] Lösungen [math]\mathbf\vec{p}[/math] (d.h. [math]\mathbf\vec{p}\,^2=0[/math]) im komplexen 3-dimensionalen Vektorraum [math] \large\mathcal{ G} [/math].[/*][br][*]Für zwei verschiedene Berührgeradenvektoren [math]\mathbf\vec{p}_1,\,\mathbf\vec{p}_2\in \large{\mathcal{ G}}[/math] mit [math]\mathbf\vec{p}_1\bullet \mathbf\vec{p}_2\ne0 [/math] kann der normierte Geradenvektor [math]\mathbf\dot{\vec{g}}=\frac{\left[\,\mathbf\vec{p}_1\,,\,\mathbf\vec{p}_2\,\right]}{\mathbf\vec{p}_1\cdot[br]\mathbf\vec{p}_2}[/math] als Verbindungsgerade der beiden Punkte auf der Möbiusquadrik gedeutet werden. [br][i]Begründung[/i]: [math]\mathbf\dot{\vec{g}}^2=\frac{\mathbf\vec{p}_1^2\cdot \mathbf\vec{p}_2^2-\left(\mathbf\vec{p}_1\bullet \mathbf\vec{p}_2\right)^2}{\left(\mathbf\vec{p}_1\bullet \mathbf\vec{p}_2\right)^2}=-1[/math] folgt aus den Entwicklungsregeln (s. S. zuvor).[br]Schneiden sich die beiden Berührgeraden, so liegen [math]\mathbf\dot{\vec{g}},\,\mathbf\vec{p}_1,\,\mathbf\vec{p}_2[/math] in einer Ebene, welche die Möbiusquadrik in einem Kreis schneidet. [br][/*][/list][u][i][size=85]Hinweis:[/size][/i][/u] [size=85]Die Aussagen oben sind eigentlich Aussagen über die Objekte einer komplexen projektiven Ebene mit nicht-ausgeartetem komplexen Kegelschnitt: Die Begriffe "Punkte", "Polare", "Tangenten" etc. würden aber für ein ziemliches Durcheinander sorgen: "Punkte" werden von den Geradenvektoren des Geradenraums [math]\mathcal{ G} [/math] und deren komplexen Vielfachen repräsentiert![br][/size][br][size=50]Diese Seite ist Teil des GeoGebra-Books [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size]