内積は平行四辺形の面積で表すことができる。二つのベクトルが直交すると内積は０。なぜこのような積を考えたのかは、その成分表示からわかる。まとめにあるように、３通りの異なった表現ができるという所が、内積が一番働いていることだと思う。