[b]Definition:[/b][br]Eine Funktion [math]f[/math] heißt [b]differenzierbar an der Stelle [/b][math]x_0[/math], wenn der Differentialquotient [math]f'\left(x_0\right)[/math] existiert.[br]Ist [math]f[/math] an jeder Stelle des Definitionsbereiches differenzierbar, heißt sie schlicht [b]differenzierbar[/b].[br][br][br]Hinweis: Die folgenden Applets enthalten jeweils einen Graphen, der im rechten Fenster herangezoomt werden kann. Außerdem werden Tangente sowie eine linksseitige und eine rechtsseitige Sekante dargestellt, die sich bei der Verkleinerung von h automatisch an die Tangente annähern. Beantworte die Aufgaben jeweils in deinem Heft.[br][b][br]Aufgabe 5.3.1:[br][/b]Ist die im folgenden Graphen dargestellte Funktion [math]f\left(x\right)=sin\left(\frac{1}{2}\pi\cdot x\right)[/math] differenzierbar? [br]Falls nein, in welchem Punkt existiert kein Differentialquotient und wieso nicht? [br]Falls ja, bestimme annähernd den Differentialquotienten an der Stelle [math]x_0=0[/math].

[b]Aufgabe 5.3.2:[br][/b]Ist die im folgenden Graphen dargestellte Funktion [math]f\left(x\right)=|x|[/math] differenzierbar? [br]Falls nein, in welchem Punkt existiert kein Differentialquotient und wieso nicht? [br]Falls ja, bestimme annähernd den Differentialquotienten an der Stelle [math]x_0=0[/math].

[b]Aufgabe 5.3.3:[br][/b]Die folgende Funktion [math]f\left(x\right)=\sqrt{x}[/math] ist nur im Bereich [math][0,\infty [ [/math] definiert und zeigt die linksseitige Sekante nur an, wenn [math]P_L[/math] noch im Definitionsbereich liegt. Ist die Funktion [math]f[/math] differenzierbar? [br]Falls nein, in welchem Punkt existiert kein Differentialquotient und wieso nicht?[br]Falls ja, bestimme annähernd den Differentialquotienten an der Stelle [math]x_0=0[/math].

[b]Aufgabe 5.3.4:[br][/b]Die folgende Funktion [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math] ist auf [math]\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}[/math] definiert, an [math]x_0=0[/math] existiert also eine Definitionslücke.[br]Ist die Funktion [math]f[/math] differenzierbar? [br]Falls nein, in welchem Punkt existiert kein Differentialquotient und wieso nicht?

[b][size=200]Lösungen:[/size][/b]