三角形の内接円

Bunryu Kamimura, Dec 19, 2019

三角形に内接する円は、三角形の作る円の一つであり、様々な性質を持っている。 傍接円は内接円と同時にできる。 この二つの円の関係を探ってみよう。

Table of Contents

  1. 内接円と傍接円
    1. リュイリエの定理・トリリウムの定理
    2. 内接円と傍接円の半径
  2. 内接円と外接円
    1. 外接円の半径
    2. カルノーの定理
    3. 2円に内接・外接する三角形の重心
  3. 三角形の作図
    1. 面積が１の三角形
    2. 三辺の和が１の三角形
    3. 三辺の積が１の三角形
    4. 辺の和が１の三角形はなぜ楕円になるのか。
  4. 内接円と９点円
    1. 九点円と内接円
    2. 傍心と内心
    3. ９点円と傍接円
    4. 傍九点
    5. 傍心三角形と心
  5. 内接円と三角形
    1. ヘロンの公式
    2. ジェルゴンヌの定理
    3. 外接三角形が一点で交わることの証明

1.

内接円と傍接円

内接円の半径と傍接円の半径との間には面白い関係がある。

  • 1. リュイリエの定理・トリリウムの定理
  • 2. 内接円と傍接円の半径

1.1.

リュイリエの定理・トリリウムの定理

内接円と傍接円はつながっている。　トリリウムの定理は角の二等分からすぐ気がつく。
傍心三角形と垂足三角形
内心と傍心は同時にできる。[br]そして、傍心三角形FGHもできる。[br]傍心三角形から見ると△ABCの内心は垂心になっている。[br]ということは、内心と垂心はつながっていることになる。[br]もっと言うと、△ABCは△BGMの垂足三角形となっている。[br][br]これを追求すると「[url=https://www.geogebra.org/m/W6evNpHc#chapter/92129][size=100][color=#ff0000]逆中点三角形と傍心三角形[/color][/size][/url]」につながる。[br]「[color=#ff0000][b][url=http://hamaguri.sakura.ne.jp/sannkakkeikikagaku.htm]三角形幾何学への誘い[/url] [/b][/color]」へも。
– Bunryu Kamimura

1.2.

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2.

内接円と外接円

それぞれの半径の間の関係を調べる。

  • 1. 外接円の半径
  • 2. カルノーの定理
  • 3. 2円に内接・外接する三角形の重心

2.1.

外接円の半径

外接円と内接円の関係
Ｒは外接円の半径、ｒは内接円の半径、Sは面積。Ｒ＝abc/4S。この二つの半径の関係も求めてみよう。この関係もヒッパルコスが発見している。
– Bunryu Kamimura

2.2.

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2.3.

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3.

三角形の作図

面積一定 辺の和が一定 辺の積が一定 の三角形の作図の仕方

  • 1. 面積が１の三角形
  • 2. 三辺の和が１の三角形
  • 3. 三辺の積が１の三角形
  • 4. 辺の和が１の三角形はなぜ楕円になるのか。

3.1.

面積が１の三角形

面積が１の三角形を作図するには？　　その時の内心の軌跡は？
– Bunryu Kamimura

3.2.

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3.3.

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3.4.

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4.

内接円と９点円

内接円と傍接円の両方に接する円が９点円。

  • 1. 九点円と内接円
  • 2. 傍心と内心
  • 3. ９点円と傍接円
  • 4. 傍九点
  • 5. 傍心三角形と心

4.1.

九点円と内接円

９点円は内接円と内接する。 その接点をフォイエルバッハ点という。
– Bunryu Kamimura

4.2.

–

4.3.

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4.4.

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4.5.

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5.

内接円と三角形

三角形の辺から面積を求めるヘロンの公式。 そして、 三角形の内接円から内接円から三角形を作るとどうなるか。 三角形に内接する楕円だったらどうなるか。 三角形を四角形にするとどうなるか。 いろいろな拡張が考えられる。

  • 1. ヘロンの公式
  • 2. ジェルゴンヌの定理
  • 3. 外接三角形が一点で交わることの証明

5.1.

ヘロンの公式

ヘロン（3C頃）後期アレキサンドリア学派。理論よりも実用に重きをおいた。三角形の面積を辺の長さだけから求める公式を求めた。
– Bunryu Kamimura

5.2.

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5.3.

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