Lagebeziehungen und Schnittpunkte

Parallele Geraden

Im folgenden Applet kannst du die Gerade [i]h[/i] drehen und verschieben, indem du die Spitze des Normalvektors [math]\vec{n_h}[/math] und den Punkt B bewegst.

Aufgabe 1

Drehe die Gerade [i]h[/i] so, dass sie zur Geraden [i]g[/i] parallel ist.[br]a) Welche Koordinaten hat dann der Vektor [math]\vec{n_h}[/math]? (Zwei Lösungen!)

b) Welche geometrische und welche algebraische Beziehung besteht dann zwischen [math]\vec{n_g}[/math] und [math]\vec{n_h}[/math]?

c) Stelle Gleichungen von [i]g[/i] und [i]h[/i] in Normalvektorform auf.[br]Wie erkennt man anhand der Gleichungen, dass die Geraden parallel sind?

Aufgabe 2

Verschiebe nun die Gerade [i]h[/i] so, dass sie mit [i]g[/i] übereinstimmt, dass die beiden Geraden also identisch sind.[br]a) Gib die Koordinaten des Punktes B an und stelle eine Gleichung von [i]h[/i] in Normalvektorform auf.

b) Wie erkennt man anhand der Gleichungen, dass die Geraden [i]g[/i] und [i]h[/i] identisch sind?

Zusammenfassung

Für zwei Geraden [i]g[/i] und [i]h[/i] mit den Gleichungen[br][math]g:\ a_1x+b_1y=c_1[/math] und [math]h:\ a_2x+b_2y=c_2[/math] gilt:[br][list][*][i]g[/i] und [i]h[/i] sind genau dann [b]parallel[/b], wenn [math]\binom{a_2}{b_2}[/math] ein Vielfaches von [math]\binom{a_1}{b_1}[/math] ist.[br][/*]Ist zusätzlich [math]\begin{pmatrix}a_2\\ b_2\\ c_2 \end{pmatrix}[/math] ein Vielfaches von [math]\begin{pmatrix}a_1\\ b_1\\ c_1 \end{pmatrix}[/math], so sind [i]g[/i] und [i]h[/i] [b]identisch[/b], andernfalls [b]disjunkt parallel[/b] (parallel und verschieden).[br][*][i]g[/i] und [i]h[/i] [b]schneiden einander[/b] genau dann, wenn [math]\binom{a_2}{b_2}[/math] kein Vielfaches von [math]\binom{a_1}{b_1}[/math] ist.[/*][/list]

Aufgabe 3

Welche Lagebeziehung besteht zwischen den beiden Geraden?[br][br]a) [math]4x-10y=3,\ \ -10x+25y=6[/math]

identisch disjunkt parallel schneidend

b) [math]10x-4y=5,\ \ 15x+6y=7,5[/math]

schneidend disjunkt parallel identisch

c) [math]10x+25y=-20,\ \ -8x-20y=16[/math]

schneidend disjunkt parallel identisch

Aufgabe 4

Versetze das Applet in den Anfangszustand: [br]Die Gerade [i]h[/i] ist dann durch den Punkt B = (3 | 3) und den Normalvektor [math]\vec{n_h}=\binom{3}{1,5}[/math] festgelegt.[br]a) Berechne den Schnittpunkt S der beiden Geraden mit Hilfe der Gleichung von [i]g[/i] und einer Parameterdarstellung von [i]h[/i].

b) Berechne den Schnittpunkt S mit Hilfe der Gleichungen von [i]g[/i] und [i]h[/i].