Ortografická projekce
Tato kniha se věnuje jednomu z druhů promítání užívanému v kartografii, kterým je právě ortografická projekce. Jedná se o promítání v kolmém směru do roviny průmětny.
Table of Contents
- Definice a vlastnosti ortografické projekce
- Definice a vlastnosti ortografické projekce
- Pólová ortografická projekce
- Pólová ortografická projekce
- Rovníková ortografická projekce
- Rovníková ortografická projekce
- Obecná ortografická projekce
- Obecná ortografická projekce
- Odvození souřadnic pólové ortografické projekce
- Odvození souřadnic pólové ortografické projekce
Definice a vlastnosti ortografické projekce
Definice ortografické projekce
[i][size=150]Ortografická projekce je rovnoběžné promítání kulové plochy (glóbu) do její tečné roviny směrem kolmým k této rovině. [/size][/i][br][br]Průmětnu někdy neuvažujeme jako tečnou rovinu ke kulové ploše, ale jako rovinu s ní rovnoběžnou, která prochází středem kulové plochy. Oba průměty jsou (vzhledem k vlastnostem rovnoběžného promítání) shodné.[br][br]Pro běžnou práci s mapou nemá smysl promítat celou kulovou plochu do průmětny. Dva body plochy, které leží na stejném promítacím paprsku, se zobrazí v průmětu do jednoho bodu. Promítáme tedy vždy pouze polokouli s hraniční kružnicí v průmětně, která prochází středem kulové plochy. Tato kružnice tvoří v obrys mapy a má poloměr rovný poloměru kulové plochy.[br]
Vlastnosti ortografické projekce
Ortografická projekce je [b]azimutální jednoduché zobrazení[/b].[br][br]Projekce JE ekvidistantní (zachovává délku) v rovnoběžkách.[br]Projekce NENÍ konformní (nezachovává úhly) a NENÍ ekvivalentní (nezachovává plochy).
Druhy (polohy) ortografické projekce
Pólová projekce (normální poloha) - průmětna je tečnou rovinou v severním nebo jižním pólu kulové plochy[br]Rovníková projekce (příčná poloha) - průmětna je tečnou rovinou v jednom z bodů rovníku[br]Obecná projekce (obecná poloha) - průmětna je tečnou rovinou v libovolném bodě kulové plochy
[size=100]Zleva: Pólová ortografická projekce, rovníková ortografická projekce, obecná ortografická projekce[/size]
[i]r [/i]- Rovník[br][i]O[/i] - Střed kulové plochy[br][i]π[/i] - Průmětna[br][i]s[/i] - Směr promítání[br][i]P[sub]J[/sub] [/i]- Jižní pól[br][i]R[/i] - Bod na rovníku[br][i]M [/i]- Bod kulové plochy[br]
Obraz geografické sítě
[table][tr][td][b]projekce [/b][/td][td][b]rovnoběžky [/b][/td][td][b]poledníky[/b][/td][/tr][tr][td][b]pólová[/b][/td][td]soustředné kružnice[/td][td]svazek přímek[/td][/tr][tr][td][b]rovníková[/b][/td][td]rovnoběžné přímky[/td][td]elipsy[/td][/tr][tr][td][b]obecná[/b][/td][td]elipsy[/td][td]elipsy[/td][/tr][/table][br]Pro příčnou i obecnou polohu platí, že obrazem poledníků mohou být ve speciálním případě i kružnice.
Užití ortografické projekce
Ortografickou projekci je vhodné použít především k zobrazování území přibližně kruhového tvaru v okolí bodu dotyku tečné roviny s kulovou plochou. Čím dále je tento bod od zobrazovaného území, tím více ztrácí mapa na přesnosti.[br][br]Často je ortografická projekce užívána k zobrazování astronomických těles, např. Měsíce, planet či Slunce.
Pólová ortografická projekce
Pólová (také normální) ortografická projekce je pravoúhlé promítání kulové plochy do tečné roviny [math]\pi[/math] v jižním pólu. Směrem promítání je tudíž směr zemské osy, jež je k průmětně kolmý. Průmětem kulové plochy je kruh [i]R[sub]1[/sub][/i], kde obrysovou kružnicí je průmět rovníku, jehož poloměr se zachová. Rovnoběžky se zobrazí do kružnic, které jsou shodné se svými vzory. Průměty poledníků jsou průměry kruhu [i]R[sub]1[/sub][/i]. Pólová ortografická projekce je vhodná pro zobrazování polárních oblastí, vzhledem k tomu, že v okolí pólů dochází k menšímu zkreslení.
Zobrazení rovnoběžek
Rovnoběžky se zobrazí jako soustředné kružnice. Pro danou zeměpisnou šířku [math]\psi[/math] je sestrojíme pomocí sklopení pomocné roviny obsahující osu, do které rovnoběžku kolmo promítneme. Ve sklopeném průmětu získáme potřebný poloměr.
Zobrazení poledníků
Poledníky se zobrazí jako poloměry obrysové kružnice.
Rovníková ortografická projekce
Rovníková ortografická projekce
Rovníková (také příčná) ortografická projekce je pravoúhlé promítání kulové plochy do tečné roviny [math]\pi[/math]rovnoběžné se zemskou osou. Směrem promítání je k průmětně kolmý. Průmětem kulové plochy je kruh [i]R[sup]s[/sup][/i], kde obrysovou kružnicí je průmět příslušného poledníku, jež leží v rovině rovnoběžné s průmětnou. Poloměr této kružnice a tedy i kulové plochy se zachová. Rovnoběžky se promítají do tětiv obrysové kružnice, které jsou kolmé na průmět osy. Průměty poledníků jsou elipsy se zemskou osou jako hlavní osou.
Zobrazení rovnoběžek
Rovnoběžky se zobrazí jako tětivy obrysové kružnice kolmé k ose [i]P[/i][sub]s[/sub][i]P[/i][sub]j[/sub].
Zobrazení poledníků
Poledníky se zobrazí jako elipsy, jejichž hlavní osa splývá s průmětem zemské osy. Vedlejší osy elips získáme sklopením spádových přímek příslušných rovin poledníků. Všechny roviny poledníků prochází osou, proto jejich spádové přímky se zobrazí kolmo k ose.
Obecná ortografická projekce
Obecná ortografická projekce je pravoúhlý průmět kulové plochy do její tečné roviny [i]π[/i], která není k zemské ose ani kolmá a ani s ní není rovnoběžná. Pokud bychom vedli středem kulové plochy rovinu [i]ρ[/i] rovnoběžnou s rovinou [i]π[/i], pak průnik kulové plochy s rovinou [i]ρ[/i] je obrysová kružnice, která není ani poledníkem a ani rovnoběžkou. Její průmět do roviny [i]π[/i] je obrysem mapy. Dále již budeme zobrazovat pouze polokouli, která je popsána hraniční kružnicí, kterou jsme zmiňovali a bodem, kterým je bod dotyku kulové plochy s rovinou [i]π[/i].[br]
Obecnou ortografickou projekci tedy můžeme považovat za zobrazení kulové plochy v pravoúhlé axonometrii, která je svým středem umístěna do počátku soustavy souřadnic a jejíž rovník leží v rovině [i]xy[/i].
Konstrukce průmětů rovnoběžek
Průměty rovnoběžek konstruujeme pomocí sklopené promítací roviny, která je dána oběma póly a směrem promítání.
Konstrukce průmětů poledníků
Průměty poledníků jsou elipsy a opět je konstruujeme pomocí stejné sklopené roviny, jako u konstrukce rovnoběžek. V obou případech využíváme toho znalostí průmětu geografické sítě v rovníkové ortogonální projekci.
Odvození souřadnic pólové ortografické projekce
Mějme zadaný bod A zeměpisnými souřadnicemi (φ, λ). Naším úkolem je zjistit, jaké kartézské souřadnice bude mít průmět A' bodu A v pólové ortografické projekci.[br]Z konstrukce situace v Mongeově promítání vyplývá, že poloměry rovnoběžkových kružnic se nezkreslují.
Vidíme, že půdorys je také pólovým ortografickým průmětem. Z vlastností goniometrických funkcí víme, že pro určení kartézských souřadnic prvního průmětu bodu A potřebujeme znát délku [i]r[/i]. Pak můžeme vyjádřit průmět [i]A'[/i] bodu[i] A[/i] následovně[br][center][i]A' = [ x[sub]A[/sub], y[sub]A[/sub]][/i][br][i]x[sub]A[/sub] = r cos λ[/i][br][i]y[sub]A[/sub] = r sin λ[/i][/center][br][br]S určením délky [i]r[/i] nám pomůže naopak nárys v Mongeově promítání. Odtud můžeme pomocí znalostí goniometrických funkcí určit, že[br][i][center]r = R cos φ.[/center][br][br][/i]Po dosazení již známe kartézské souřadnice průmětu [i]A'[/i] bodu[i] A[br][/i][i][br][i][center]A' = [ [i][i]R cos φ[/i] cos λ[/i], [i][i]R cos φ[/i] sin λ[/i][sub][/sub]].[/center][/i][br][/i][br]