Ein lineares Gleichungssystem mit [math]n[/math] Variablen braucht mindestens [math]n[/math] verschiedene Gleichungen, damit es eine eindeutige Lösung hat. In einigen Fällen gibt es selbst dann keine Lösung oder unendlich viele Lösungen, aber zu diesen Fällen kommen wir später. [br][br]Man kann ein Gleichungssystem auch mit Hilfe von Matrizen schreiben. Das erspart viel Schreibarbeit und ist beim Rechnen oft auch übersichtlicher:[br][math] \begin{array}{rrrr}[br]x_1 +&2\cdot x_2+&x_3 =& 16\\[br]2\cdot x_1 +&3\cdot x_2+&x_3 =& 25\\[br]6\cdot x_1 +&6\cdot x_2+&3\cdot x_3 =& 60[br] \end{array} [/math][br]Wenn wir der Koeffizientenmatrix den Namen [math]\mathbf{A}[/math] geben, dann wird die obenstehende Gleichung einfach zu [br][math]\mathbf{A}\cdot\vec{x}=\vec{b}[/math][br]Mit der [color=#980000][b]Koeffizientenmatrix[/b][/color] [math] \mathbf A=\begin{pmatrix}[br]1&2&1\\2&3&1\\6&6&3[br]\end{pmatrix} [br][/math] und den Vektoren [math] \vec x= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3[br]\end{pmatrix} [/math] und [math] \vec b= \begin{pmatrix} 16\\25\\60[br]\end{pmatrix} [/math]

Mit dem folgenden Applet kann geübt werden, ein Gleichungssystem mit Hilfe der Koeffizientenmatrix in eine Matrizen-Gleichung zu verwandeln

Da die Zahlen der Koeffizientenmatrix [math]\mathbf{A}[/math] und des Vektors [math]\vec{b}[/math] gegeben sind, möchten wir als Lösung gerne den Vektor [math]\vec{x}[/math] berechnen. [br]Bei einer Gleichung wie [math]4\cdot x=24[/math] wäre das ganz einfach, wir teilen die Gleichung durch [math]4[/math] und erhalten das gewünschte [math]x=6[/math]. Bei der Gleichung mit der Koeffizientenmatrix geht das leider nicht, denn:[br][br][center][color=#980000][b]MAN KANN NICHT DURCH MATRIZEN TEILEN[/b][/color][/center]Wir haben [url=https://www.geogebra.org/m/e5erppy5]hier[/url] gesehen, dass Addieren und Multiplizieren zumindest in günstigen Fällen geht, aber durch eine Matrix teilen, also[i][b] dividieren, das geht gar nicht[/b][/i].

Aber wie immer haben die Mathematiker trotzdem einen Weg gefunden, wie man Gleichungen lösen kann, wie [br][br] [math] \mathbf A \cdot \vec x=\begin{pmatrix}[br]1&2&1\\2&3&1\\6&6&3[br]\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 16\\25\\60[br]\end{pmatrix} [/math][br][br]Mit [b][color=#980000]inversen Matrizen[/color][/b]. Die inverse Matrix zu einer Matrix [math]\mathbf{A}[/math] heißt [math]\mathbf{A^{-1}}[/math].[br][br]Quadratische Koeffizientenmatrizen haben [b][i]meistens[/i][/b] eine inverse Matrix.[br][br]Wer das etwas genauer verstehen möchte, muss spätere Kapitel zu Rate ziehen, denn es gilt: Wenn der [i]Rang[/i] einer quadratischen Koeffizientenmatrix ([url=https://www.geogebra.org/m/u7remdvv]siehe hier, was der Rang einer Matrix ist[/url]) gleich der Anzahl der Variablen ist, dann hat diese Matrix auch eine inverse Matrix .[br]Für inverse Matrizen gilt:[br][center][br][math]\text{\Large{\[\boxed{\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{-1}\cdot\mathbf{A}=\mathbf{E}}\]}}[/math][/center][br][br]Wobei [math]\mathbf{E}[/math] die [color=#980000][b]Einheitsmatrix[/b][/color] ist. Je nachdem, ob [math]\mathbf{A}[/math] eine [math](2\times2)[/math]-, eine [math](3\times3)[/math]- oder eine [math](4\times4)[/math]-Matrix ist, lautet die Einheitsmatrix [math]\mathbf E_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}[/math], [math]\mathbf E_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}[/math] oder [math]\mathbf E_4=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}[/math].[br]Das geht natürlich auch für noch höhere Dimensionen.[br][br][b]Wenn man einen Vektor oder eine Matrix [color=#980000]mit einer Einheitsmatrix multipliziert[/color], dann bleiben sie wie sie sind. Genau so wie beim Multiplizieren mit der Zahl 1[/b].[br]

Wir betrachten wieder die Gleichung [math]\mathbf{A}\cdot\vec{x}=\vec{b}[/math] (s.o.)[br][br]Wenn es zu [math]\mathbf A[/math] eine inverse Matrix [math]\mathbf A^{-1}[/math] gibt, dann kann man die gesamte Gleichung von der linken Seite mit dieser inversen Matrix multiplizieren:[br][br][math] [br]\begin{array}{ccll}[br]&\Large{\mathbf{A}\cdot\vec{x}}&\Large{=\vec{b}}&\vert \mathbf A^{-1}\cdot ()\\[br]\mathbf A^{-1} \cdot &\mathbf{A}\cdot\vec{x}&= \mathbf A^{-1}\cdot \vec b&\vert\text{ mit } \mathbf A^{-1}\cdot \mathbf A = \mathbf E\\[br]&\mathbf{E}\cdot\vec{x}&=\mathbf A^{-1}\cdot \vec{b}&\vert \text{ mit } \mathbf E \cdot \vec x = \vec x\\[br]\Rightarrow&\Large{\underline{\underline{\vec{x}}}}&\Large{\underline{\underline{=\mathbf A^{-1}\cdot \vec{b}}}}&[br]\end{array}[br][/math][br][br]Jetzt ist nur noch die Frage, wie man eine inverse Matrix berechnet. Das ist händisch ein Extrakapitel wert, aber mit dem CAS-Taschenrechner (z.B. HP Prime) geht das ganz einfach: Man speichert die Matrix [math]\mathbf{A}[/math] zum Beispiel als [math]a[/math] ab und gibt dann [math]a^{-1}[/math] ein. Mit Geogebra verwendet man die Anweisung "[color=#980000][i]invertiere()[/i][/color]" .[br]So ist die inverse Matrix der Koeffizientenmatrix [math]\mathbf A=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&3&1\\6&6&3\end{pmatrix}[/math] die Matrix [math]\mathbf {A^{-1}}=\begin{pmatrix}-1&0&\frac 13\\0&1&-\frac 13\\2&-2&\frac 13\end{pmatrix}[/math][br]Man kann leicht überprüfen ob das stimmt, denn aus dem Produkt dieser beiden Matrizen muss die Einheitsmatrix herauskommen: [math]\mathbf{A}^{-1}\cdot\mathbf{A}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{E}[/math]. Prüfen Sie es nach!

Sie können die Matrizen-Gleichung [math]\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\mathbf{C}[/math] auf diese gleiche Weise nach [math]\mathbf{A}[/math] oder nach [math]\mathbf{B}[/math] auflösen. Aber vorsicht! [b]Einmal müssen Sie die inverse Matrix [color=#38761D]von rechts[/color] und einmal müssen Sie diese [color=#980000]von links[/color] multiplizieren[/b]:[br][br][math] [br]\begin{array}{clll}[br]\mathbf{A}&\cdot\mathbf{B}&=\mathbf{C}&\vert ()\cdot\mathbf B^{-1}\text{ von rechts!!}\\[br]\mathbf A &\cdot \mathbf{B}\cdot\mathbf{B^{-1}}&= \mathbf{C}\cdot\mathbf{B^{-1}}&\vert\text{ mit } \mathbf B^{-1}\cdot \mathbf B = \mathbf E\\[br]\mathbf{A}&\cdot\mathbf{E}&=\mathbf{C}\cdot\mathbf{B^{-1}}&\vert \text{ mit } \mathbf A\cdot \mathbf E= \mathbf A\\[br]{}&\mathbf A&=\mathbf C\cdot \mathbf {B^{-1}}&{}[br]\end{array}[br][/math][br][br]aber[br][br][math] [br]\begin{array}{clll}[br]\mathbf{A}&\cdot\mathbf{B}&=\mathbf{C}&\vert\mathbf A^{-1}\cdot ()\text{ von links!!}\\[br]\mathbf{A^{-1}}\cdot\mathbf A &\cdot \mathbf{B}&=\mathbf{A^{-1}}\cdot \mathbf{C}&\vert\text{ mit } \mathbf A^{-1}\cdot \mathbf A = \mathbf E\\[br]\mathbf{E}&\cdot\mathbf{B}&=\mathbf{A^{-1}}\cdot \mathbf{C}&\vert \text{ mit } \mathbf E\cdot \mathbf B= \mathbf B\\[br]{}&\mathbf B&=\mathbf{A^{-1}}\cdot \mathbf{C}&{}[br]\end{array}[br][/math]

Verwenden Sie das oben stehende Applet, um sich ein Gleichungssystem anzeigen zu lassen. [br][br][list=1][*]Erstellen Sie dann die dazu passende Koeffizientenmatrix und schreiben diese auf[/*][*]Berechnen Sie die inverse Matrix mit dem CAS und schreiben diese auf[/*][*]Lösen Sie das Gleichungssystem mit der inversen Matrix und vergleichen Sie ihr Ergebnis mit der Lösung aus dem Applet.[br][/*][/list]