[size=85][size=50][right][size=85][size=85][size=50][/size][/size][/size][/right][right][color=#980000]Diese Aktivität ist eine Seite des[i][b] geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/gz4cyje5][color=#0000ff][u][i][b]conics bicircular-quartics Darboux-cyclides[/b][/i][/u][/color][/url] [color=#ff7700][i][b](März 2021)[/b][/i][/color][br][/right][/size][/size][br][size=85]Die Applets zeigen die [color=#00ffff][i][b]Vektorfelder [/b][/i][/color]der elliptischen Differential-Gleichung[br][br][math]f'^2=c\cdot\left(f-f_1\right)\cdot\left(f-f_2\right)\cdot\left(f-f_3\right)\cdot\left(f-f_4\right);\mbox{ with }c\in\mathbb{C},\mbox{ and foci: } f_1,f_2,f_3,f_4\in\mathbb{C}[/math][br][br]Auf 3 Weisen können 2 Punkte-Paare als [color=#00ff00][i][b]Grundpunkte[/b][/i][/color] von 2 [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschel[/b][/i][/color] ausgewählt werden.[br]Durch jeden Punkt [math]z_0\in\mathbb{C}[/math], von den [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] abgesehen, geht je ein [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] aus den beiden [color=#ff0000][i][b]Kreisbüscheln[/b][/i][/color].[br]Für [math]c\in\mathbb{R}[/math] sind die Richtungsvektoren des [color=#00ffff][i][b]Vektorfeldes[/b][/i][/color] Winkelhalbierende der beiden [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color].[br]Die Lösungen hängen ab von der Lage der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color].[br]Die Lage der [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] ([color=#00ff00][i][b]foci[/b][/i][/color]) [math]f_1,f_2,f_3,f_4[/math] wird möbiusgeometrisch charakterisiert durch das [b]Doppelverhältnis[/b] (cross ratio):[br] [math]d=Dv\left(f_1,f_2,f_3,f_4\right)=\frac{f_3-f_1}{f_3-f_2}\cdot\frac{f_4-f_2}{f_4-f_1}[/math], abhängig von der Reihenfolge der Punkte,[br]bzw. von der [i][b]absoluten Invariante[/b][/i], welche auch als [b]absolute Invariante[/b] der elliptischen Differentialgleichung bezeichnet wird [br] [math]\mathcal{J}=\frac{1}{27}\cdot\left(\frac{d+1}{d-1}\right)^2\cdot\left(\frac{d-2}{d}\right)^2\cdot\left(2\cdot d-1\right)^2[/math][br]Ist [math]\mathcal{J}[/math] reell und sind die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] verschieden, so sind sie [color=#ff0000][i][b]konzyklisch[/b][/i][/color] ([math]\mathcal{J}\ge0[/math]) [br]oder 2 Paare von ihnen liegen spiegelbildlich auf 2 [color=#ff0000][i][b][color=#0000ff]orthogonalen[/color] Kreisen[/b][/i][/color] ([math]\mathcal{J}\le0[/math]) . [br][br][u][b][math]\downarrow\downarrow[/math] Unten[/b][/u]: [math]\downarrow\downarrow[/math] die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] sind in"[color=#ff00ff][i][b]allgemeiner[/b][/i][/color]" Lage, dh. sie sind zunächst weder [color=#ff0000][i][b]konzyklisch [/b][/i][/color][br]noch liegen sie [color=#f1c232][i][b]spiegelbildlich[/b][/i][/color] auf zwei [color=#ff0000][i][b]orthogonalen Kreisen[/b][/i][/color]. Sie lassen sich jedoch bewegen![br][center][color=#00ffff][b]move g[sub]0[/sub][/b][/color]: die Mitte des Gitters[/center][/size]

[center][size=85][math]\downarrow[/math] [b]Unten[/b]:[/size] [math]\downarrow[/math][br][/center][table][tr][td][size=85]Je 2 der [color=#00ff00][i][b]Punkte[/b][/i][/color] fallen zusammen, diese 2 Doppel-Punkte sind [br]Grundpunkte eines [color=#ff0000][i][b]elliptischen Kreisbüschels[/b][/i][/color] - die [br]Lösungskurven sind die[color=#ff0000][i][b] Kreise[/b][/i][/color] durch die beiden [color=#00ff00][i][b]Grundpunkte[/b][/i][/color] [br]bzw. - abhängig von [math]c[/math] - die [color=#9900ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color], das sind die Kurven, [br]welche die [color=#ff0000][i][b]Kreise [/b][/i][/color]unter konstantem Winkel schneiden.[br]Die elliptische Differentialgleichung ist eigentlich:[br] [math]\left(f'\right)^2=c\cdot\left(f-f_1\right)^2\cdot\left(f-f_2\right)^2[/math][/size][/td][td][size=85] Alle 4 [color=#00ff00][i][b]Punkte[/b][/i][/color] fallen zusammen - Lösungskurven sind [br] Kreise eines [color=#ff0000][i][b]parabolischen Kreisbüschels[/b][/i][/color], die Richtung [br] wird durch den Faktor [math]c[/math] bestimmt. [/size][/td][/tr][/table]

[size=85] [math]\mbox{ }[/math] [b][math]\downarrow[/math] [/b][size=100][b]2 der [color=#00ff00][i]Brennpunkte[/i][/color] fallen zusammen:[/b] [color=#00ff00][b]f[sub]34[/sub][/b][/color][/size][color=#00ff00][b][sub] [/sub][/b][/color][math]\downarrow[/math][br]Es gibt 2 [color=#f1c232][i][b]orthogonale Symmetriekreise[/b][/i][/color], auf einem liegen die 3 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte [/b][/i][b]f[sub]1[/sub][/b][i][b], [/b][/i][b]f[sub]2[/sub], f[sub]34[/sub][/b][/color].[br]Wählt man [size=85][color=#00ff00][b]f[sub]34[/sub][/b][/color][/size] als [math]\infty[/math], so sind [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color][sub] [/sub]und [color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color] die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] von [color=#ff7700][i][b]konfokalen Kegelschnitten[/b][/i][/color] [br]und den dazugehörenden[color=#9900ff][i][b] loxodromischen Kurven[/b][/i][/color]. [br]Lösung ist zB. [math]z\mapsto f\left(z\right)=\mathbf{sin}\left(z\right)[/math], wenn man als [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] [math]f_{\pm}=\pm1[/math] wählt.[/size]

[math]\mbox{ }[/math][b]Ein 3-facher Brennpunkt [color=#00ff00]f[sub]234[/sub][/color], ein einfacher [color=#00ff00]f[sub]1[/sub][/color][/b]:[br][size=85][b][color=#00ff00]f[sub]234[/sub][/color][/b] als [math]\infty[/math] führt zu [color=#ff7700][i][b]konfokalen Parabeln[/b][/i][/color], eine Lösung ist zB. [math]z\mapsto f\left(z\right)=\frac{1}{4}\cdot z^2[/math] mit [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color] = 0.[/size]