Mit Hilfe dieser Seite untersuchen wir die verschiedenen Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum. Dabei gibt es mehrere Möglichkeiten, wie die Geraden zueinander liegen können.[br]-------------------------------------------------------------------------------------------------------
a) Wie liegen die beiden Geraden zueinander?[br][br]b) Es gibt hier einen Sonderfall (das ist Möglichkeit 2). Finde ihn.[br][br]c) Welche Bedingung benötigt der Sonderfall? Wie müssen Stütz- und Richtungsvektoren aussehen?
a) Die Geraden schneiden sich.[br][br]b) Die Geraden können auch identisch sein.[br][br]c) Stützvektor beliebig, solange der Stützpunkt auf beiden Geraden liegt. Die Richtungsvektoren müssen kollinear sein.
a) In welcher Beziehung stehen die beiden Geraden zueinander?[br][br]b) Unter welcher Bedingung (Stütz- und Richtungsvektoren) kommt diese Beziehung zustande? [br][br]c) Welcher Sonderfall kann hier theoretisch auch eintreten? Unter welcher Bedingung (Stütz- und Richtungsvektoren)?[br][br]d) (Zusatz) Kleine GeoGebra-Interface-Übung: Schafft ihr es, den Sonderfall einzustellen?[br]
a) Die Geraden sind parallel.[br][br]b) Der Stützvektor kann beliebig gewählt werden, die Richtungsvektoren müssen kollinear sein.[br][br]c) Auch diese beiden Geraden können identisch sein. Dafür muss zusätzlich der Stützpunkt auf beiden Geraden liegen.[br][br]d) Über den "Play"-Knopf und die Verlangsamung s1 auf 0.99 stellen.
a) Bewege die Ansicht, sodass du die Geraden aus verschiedenen Blickwinkeln betrachten kannst.[br][br]b) Wie unterscheidet sich diese Lage von den vorherigen?[br][br]c) Unter welchen Bedingungen entsteht diese Lagebeziehung?[br][br]d) Ist diese Lagebeziehung auch im 2-dimensionalen möglich? Begründe deine Antwort.
b) Die Geraden haben weder einen Schnittpunkt, noch sind sie parallel.[br][br]c) Die Richtungsvektoren dürfen nicht kollinear sein, beide Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt (insbesondere auch keinen gemeinsamen Stützpunkt).[br][br]d) Die Lagebeziehung ist im 2-dimensionalen nicht möglich, da nicht parallele Geraden im 2-dimensionalen immer einen Schnittpunkt besitzen.
Welcher Lagebeziehung entspricht Möglichkeit 1?
1. Überprüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren kollinear sind[br][br](Wie geht das nochmal? zwei Vektoren [math]\binom{a}{b}[/math] und [math]\binom{c}{d}[/math] sind kollinear, wenn ihre Komponenten komponentweise[br][list][*]gleich Null sind (z.B. a=c=0) ODER[/*][*]die Verhältnisse der Komponenten gleich sind a:c = b:c )[/*][/list][br]Daraus ergeben sich [b][color=#0000ff]zwei Alternativen[/color][/b][br][br][table][tr][td]Richtungsvektoren sind [b]nicht kollinear:[/b][/td][td][/td][td]Richtungsvektoren sind [b]kollinear[/b]:[/td][/tr][tr][td]In der Ebene: Geraden müssen sich [b]schneiden[/b][br]Im Raum: Geraden schneiden sich [br]ODER [br]sind [b]windschief[/b] [br][br][/td][td][/td][td]Geraden sind [b]parallel[/b][br]ODER[br]Geraden sind [b]identisch[/b][/td][/tr][/table][br][br]2. Um die Lagebeziehung eindeutig zu klären, muss eine Probe durchgeführt werden:[br]Setze die Parameterformen gleich und bestimme die Lösungsmenge[br]r_1: [math]\binom{x}{y}=\binom{a}{b}+t\binom{v_x}{v_y}[/math] Spurparameter t[br]r_2: [math]\binom{x}{y}=\binom{c}{d}+s\binom{w_x}{w_y}[/math] Spurparameter s[br]Setze die rechten Seiten gleich und löse nach t und s (Lineares Gleichungssystem)[br][br][math]\left(I\right)a+tv_x=c+sw_x[/math][br][math]\left(II\right)b+tv_y=d+sw_y[/math][br][br]Es ergeben sich [b]zwei Fälle:[/b][br]1) Nicht-kollineare Richtungsvektoren[br][br][table][tr][td]Lösungsmenge eindeutig =>[/td][td]Geraden schneiden sich in einem Punkt[/td][/tr][tr][td]Lösungsmenge ist leer =>[/td][td]Geraden sind windschief[/td][/tr][/table][br]2) kollineare Richtungsvektoren[br][table][tr][td]Lösungsmenge leer =>[/td][td]Geraden sind parallel[/td][/tr][tr][td]Lösungsmenge allgemein (unendlich viele Lösungen) =>[/td][td]Geraden sind identisch[/td][/tr][/table][br]Im Falle kollinearer Richtungsvektoren kann auch verkürzt eine Punktprobe durchgeführt werden (Aufpunkt in die Parameterform einsetzen und prüfen, ob der Aufpunkt auf der anderen Geraden liegt)[br]
1) In welcher Beziehung sind die Geraden r_1: [math]\binom{x}{y}=\binom{1}{2}+t\binom{3}{6}[/math] und r_2[math]\binom{x}{y}=\binom{3}{0}+s\binom{-1}{-2}[/math]
2) Zeige, dass die Geraden r_1: [math]\binom{x}{y}=\binom{2}{3}+t\binom{5}{2}[/math] und r_2: [math]\binom{x}{y}=\binom{4}{0}+s\binom{0}{3}[/math] sich schneiden und bestimme den Schnittpunkt[br]
a) Mache dich mit den Schiebereglern vertraut. Welchen Teil der Gerade verändern sie?[br][br]b) Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede müssen g und h haben, damit diese Lagebeziehung entsteht?[br][br]c) Es gibt hier einen Sonderfall. Finde ihn.
Welcher Lagebeziehung entspricht Möglichkeit 1?