Una funcionalidad vectorial es aquella cuyo dominio es un grupo de números reales y cuyo rango es un grupo de vectores. Esto significa que tenemos la posibilidad de conceptualizar la funcionalidad como: [br] [br]r(t)=(f(t),g(t),,h(t))=f(t)[math]i^{\rightarrow}[/math]+g(t)[math]j^{\rightarrow}[/math]+h(t)[math]k^{\rightarrow}[/math]

Si r(t ) =(f (t ),g (t ),h (t ))= f(t )i +g(t )j +h(t )k donde son funciones derivables entonces:[br][br]r′(t) = (ƒ[sup]′[/sup](t), g[sup]′[/sup](t), ℎ[sup]′[/sup](t)) =ƒ′(t) i+ g′(t) j + ℎ′(t) k[br][br]1. Ejemplo:[br]Calcule la derivada de r(t)=(1+ t[sup]3[/sup]) i +t e[sup]−t [/sup]j+ sen(2)t k[br]R= Se deriva cada componente de r: r[sup]′[/sup](t)=3t[sup]2 [/sup]i+(1−t)e[sup]−t [/sup]j+2cos2t k[br][br][b]OJO:[/b][br]Al vector r′(t) se le denomina vector tangente a la curva descrita por la curva C: r(t) en el punto P siempre que r′(t) exista y  r′(t) ≠ 0[br]La recta tangente a  C: r(t) en el punto P se define como la recta que pasa por P y que es paralela al vector tangente  r′(t).[br]El vector unitario tangente es: T(t) = r′(t)/|r′(t)|[br]Al igual que las funciones de valores reales la segunda derivada de una función vectorial r es la derivada de r′ es decir r′′ = (r′)′[br][br]2. Ejemplo:[br]Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice de ecuaciones paramétricas[br] x=2cos t y=sen t z= t en el punto (0,1,pi/2)[br]La ecuación vectorial de la hélice es r(t)= (2cos t, sen t, t) de modo que r´(t)=(-2sen t, cos t, 1)[br]El valor del parámetro que corresponde al punto (0,1, pi/2) es t= pi/2 de modo que el vector tangente es r´( pi/2)=(-2,0,1)[br][br]La recta tangente es la recta que pasa por (0,1, pi/2) y es paralela al vector (−2,0,1) de modo que sus ecuaciones paramétricas son[br][br]x=-2t  y=1  z=pi/2[br][br]

Si r(t)=(f(t),g(t),h(t))=f(t)i+g(t)j+h(t)k donde son funciones integrables entonces[br][math]\int_a^br\left(t\right)dt=\int_a^bf\left(t\right)dti+\int_a^bg\left(t\right)dtj+\int_a^bh\left(t\right)dtk[/math][br][br]Ejemplo:[br]Calcule la integral de r(t)= (2cos t)i+ sent j+ 2t k) en el intervalo [0, pi/2][br]Se integra cada componente de r:[br][math]\int_0^{\frac{pi}{2}}r\left(t\right)dt=\int_0^{\frac{pi}{2}}2costdti+\int_0^{\frac{pi}{2}}sentdtj+\int_0^{\frac{pi}{2}}2tdtk[/math][br][math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}r\left(t\right)dt=2senti-costj+t^2k|_0^{\pi}=2i+j+\frac{\pi^2}{4}k[/math]