[size=85][color=#980000][size=50][right]Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj]Möbius-Werkzeuge circle-tools[/url] (April 2019)[/right][/size][/color][/size][br][size=85]Zu 4 verschiedenen [color=#6d9eeb][i][b]Punkten[/b][/i][/color] in der [b]GAUSS[/b]schen Zahlen-Ebene gibt es 4 eindeutig bestimmte, paarweise [color=#980000][i][b]orthogonale Kreise[/b][/i][/color] - einer davon ist imaginär - mit der Eigenschaft:[br]die 4 [color=#3c78d8][i][b]Punkte[/b][/i][/color] liegen paarweise harmonisch zu den [color=#980000][i][b]Schnittpunkt - Paaren[/b][/i][/color] der orthogonalen [color=#980000][i][b]Kreise[/b][/i][/color].[br]Dazu vergleiche man die Aktivität [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj#material/sj2h6cmv]4 Punkte und ... ihre Symmetrien[/url].[br]Eine geeignete [i][b]Möbiustransformation[/b][/i] - das ist komplex eine gebrochen-lineare Funktion[/size] [math]l\left(z\right)=\frac{a\cdot z+b}{c\cdot z+d}[/math][size=85] - bildet die 4 [color=#3c78d8][i][b]Punkte[/b][/i][/color] auf die komplexen Zahlen [/size][math]f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math][size=85] ab. [br]Diese 4 komplexen Zahlen liegen "[i]punktsymmetrisch[/i]", das heißt[i][b] harmonisch[/b][/i] zu den Punkte-Paaren [/size][math]1,-1;i,-i;0,\infty[/math]. [size=85][br]Die zugehörigen [color=#980000][i][b]orthogonalen Kreise[/b][/i][/color] sind: [/size][math]x=0,\;y=0,\;x^2+y^2-1=0\mbox{ und } x^2+y^2+1=0[/math].[br][br][size=85]Abhängig von der Reihenfolge wird die Lage von 4 Punkten [math]z_1,z_2,z_3,z_4\in\mathbb{C}[/math] charakterisiert durch ihr [i][b]Doppelverhältnis[/b][/i][list][*][math]cr=CR\left(z_1,z_2,z_3,z_4\right)=\frac{z_1-z_3}{z_2-z_3}\cdot\frac{z_2-z_4}{z_1-z_4}[/math]. [/*][/list][size=85]Die Lage der 4 [color=#3c78d8][i][b]Punkte[/b][/i][/color] ist möbius-geometrisch invariant bestimmt durch die [b]absolute Invariante[/b] [/size][br][list][*][math]J_{\left\{abs\right\}}:=\frac{1}{27}\cdot\left(\frac{cr+1}{cr-1}\right)^2\cdot\left(\frac{cr-2}{cr}\right)^2\cdot\left(2cr-1\right)^2[/math]. [br][/*][/list][size=85]Nur wenn ihre [b]absoluten Invarianten[/b] übereinstimmen, können [color=#1155Cc][i][b]4 Punkte[/b][/i][/color] durch eine geeignete [i][b]Möbius-Transformation[/b][/i] auf [color=#1155Cc][i][b]4 andere Punkte[/b][/i][/color] abgebildet werden.[/size][br][br][list][*][size=85][math]J_{\left\{abs\right\}}[/math] ist reell und [math]J_{\left\{abs\right\}}\ge0[/math]. Das Doppelverhältnis der 4 [color=#1155Cc][i][b]Punkte[/b][/i][/color] ist bei jeder Reihenfolge reell. [br]Die 4 [color=#1155Cc][i][b]Punkte[/b][/i][/color] liegen auf einem [color=#980000][i][b]Kreis[/b][/i][/color]. [br]Im Applet oben liegen die Punkte auf einem der genannten [color=#980000][i][b]orthogonalen Kreise[/b][/i][/color]. [/size][/*][br][*][size=85][math]J_{\left\{abs\right\}}[/math] ist reell und [math]J_{\left\{abs\right\}}\le0[/math]. Die [color=#1155Cc][i][b]Punkte[/b][/i][/color] liegen paarweise spiegelbildlich auf 2 [color=#980000][i]orthogonalen Kreisen[/i][/color]. [br]Für das Doppelverhältnis [math]cr[/math] gilt in dieser Reihenfolge [math]\left|cr\right|=1[/math]. [br]Im Applet oben liegen die [color=#1155Cc][i][b]Punkte[/b][/i][/color] dann auf 2 orthogonalen [color=#980000][i]Winkelhalbierenden-Kreise[/i][/color] der [color=#980000][i][b]orthogonalen Kreise[/b][/i][/color]. [/size][/*][br][*][size=85][math]J_{\left\{abs\right\}=0}[/math] Die 4 [color=#1155Cc][i][b]Punkte[/b][/i][/color] liegen auf einem der [color=#980000][i][b]orthogonalen Kreise[/b][/i][/color] in [i][b]harmonischer Lage[/b][/i]: in einer der Reihenfolgen der Punkte gilt [math]cr=-1[/math]. [br]Die [color=#1155Cc][i][b]Punkte[/b][/i][/color] liegen paarweise spiegelbildlich zu 2 orthogonalen [color=#980000][i]Winkelhalbierenden-Kreisen[/i][/color].[/size][/*][br][*][math]J_{\left\{abs\right\}}=-1[/math]: [b]Tetraeder-Lage[/b]! [math]cr=e^{i\cdot\varphi}\mbox{ mit }\varphi=\pm60°[/math] für jede Reihenfolge der [color=#1155Cc][i][b]Punkte.[/b][/i][/color][br]Die [color=#1155Cc][i][b]Punkte[/b][/i][/color] liegen auf Schnittpunkten der [color=#980000][i]Winkelhalbierenden-Kreise [/i][/color]und sind spiegelbildlich zu je 2 der [color=#980000][i]orthogonalen Winkelhalbierenden-Kreise[/i][/color]. [br][b]Symmetrie-Gruppe[/b] ist die [b]Tetraeder-Gruppe[/b].[/*][/list][br][/size]