今回扱う[b]線形空間[/b]はごつごつした名前なので、[br]ただの「[b]箱[/b]」と呼ぶことにします。[br][br][b][size=150]数にかけ算があるように箱もかけ算できます。[br][/size][/b][br]数はかならず[b]１で割り切れます[/b]。[br]箱はかならず[b]０をもっています[/b]。[br][br]数と数をかけると数になるように、[br]箱と箱をかけると箱になります。[br][br]２は１で割り切れる数で、３は１で割り切れる数です。[br][b]２×３＝６も、１で割り切れる数になりますね。[br][/b][br]ｘ軸は０を含む「箱」W、ｙ軸は０を含む「箱」W'と呼ぼう。[br]この積W×W'は、要素を(x,y)と並べてかける「箱」です。[br][b]この「箱W×W'」は原点(0,0)というOを含みます。[br][/b][br]Wの基底がex,W'の基底がeyだとすると、[br]「箱V=W×W'」の基底(1,0),(0,1)としてそのまま使えます。[br]この[b][color=#0000ff][size=150]V=W×W'は積なのですが、「直和」といい、W⊕W'とかく[/size][/color][/b]ことが多いです。[br]それは、積の反対の視点で考えるとわかりやすいです。[br][br]6＝2×3から、6は互いに素な（１しか公約数がない）2数2と3の積に分解できますね。[br]同じように[br]V=W×W'から、Vは互いに素な（０しか共通要素がない）2箱WとW'の積に分解できますね。[br][br]これを「[b]直和分解[/b]」といいます。[br]VはWの成分とW’の成分を並べただけの形にかけます。[br][br]要素の個数のイメージでいくと、まさに直積ですが、[br][b]表示としては並べてくっつけたもの、カッコでまとめてくっつけた感じ[br][/b]だから、[b]ただの＋ではなく⊕[/b]です。[br][br]それだけではありません。[br][br]写像も線形な空間を作るので、[br][br][b][color=#0000ff]写像（射）も「箱」と呼べます[/color][/b]。[br]だから、[br]写像箱ｆ：V→WでV=V1⊕V2、W＝W1⊕W2と分解できるとき、[br]２つの写像箱f1;V1→W1,f2=V2→W2があれば、[br][color=#0000ff][b][size=150]写像箱ｆ＝f1⊕f2も直和分解できます[/size][/b][/color]。[br][br]さらに、写像は行列で表現できるため、[br][br]x1∊V1,　x2∊V2,[br]y1∊W1,　y2∊W2[br][br]とすると、[br]f1:V1→W1,[br]f2:V2→W2[br]に対して、[br]t[y1,y2]={{f1,0},{0,f2}}=t[x1,x2][br]のように、[br]写像箱の直和分解は部分箱を対角成分にならべてかけます。[br]写像箱を分解して並べただけという感じがよく出ています。[br]もちろん、代数計算すれば条件通りです。[br][br]texでかくと、さらに見た目とコトバが一致します。[br][br][math]\left(\begin{matrix}y1\\y2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}f1,0\\0,f2\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x1\\x2\end{matrix}\right)[/math][br][br]このイメージがあると、[br]「積分解というよりは和分解」[br]というイメージになるので、[br]「直和」分解というのはしっくりきますね。

[b][size=150]＜geoebraでコード化＞[/size][/b][br][br]a=Slider(1,10)[br]b=Slider(0.2,20)[br]X1=(10,0)[br]X2=(15,0)[br]x1=x(X1)[br]x2=x(X2)[br]f1(x)=a x[br]f2(x)=b x[br]y1=f1(x1)[br]y2=f2(x2)[br]Y1=(0,y1)[br]Y2=(0,y2)[br]P=(x1,y1)[br]Q=(x2,y2)[br]PolyLine(X1,P,Y1)[br]PolyLine(X2,Q,Y2)[br]M={{f1,0},{0,f2}}[br]text1=TableText(M)[br]text2="写像の直和分解M=("+text1+")"[br]♯これはLaTex数式をOnにします。[br][br][b]タイトルは「写像の直和分解」[br][/b][br][b][size=150]＜振り返り＞[br][/size][/b][br]aをアニメーションにしてみましょう。[br][br]f1の写像にかかわる箱V1,W2は忙しく変化していますが、[br]f2の写像にかかわる箱V2,W2はじっとしたままで、無関係になってますね。[br]これで、直和分解が、互いに素な分解になっているということが、[br]見た目でもわかるでしょう。[br][br]「対角線の反対側にある 0のおかげで、[br]V1 と V2はお互いに全く干渉せず、[br]それぞれの世界で自由に伸縮できていますね。[br][br]では、もしこの行列の右上に [b]1 （非ゼロ成分）[/b] が入ってしまったらどうなるでしょうか？[br][br]M' = {{ f1 ,1} { 0 ,f2}}[br]そうです、f2の動きが f1 側に一方通行で『漏れ出して（干渉して）』しまいます。[br]完全に分裂（直和分解）できず、[br]この『１の漏れ出し』が残ってしまった状態……[br][br]これこそが[b]Jordan標準形[/b]です。[br][br]では、次回はJordan標準形を扱いましょう。