La géométrie des transformations

Vincent Huvelle, Jan 2, 2017

Les transformations étudiées au cycle 4 sont les symétries axiales, les symétries centrales, les rotations, les translations, les homothéties.

Table of Contents

  1. Les isométries
    1. La symétrie axiale
    2. La symétrie centrale
    3. Rotation
    4. Translation
  2. Les homothéties
    1. Définition
    2. Figures semblables
    3. Théorème de Thalès
  3. Les triangles semblables
    1. Définition
    2. Conditions suffisantes
    3. Les triangles isométriques
  4. Les figures fondamentales
    1. Figures fondamentales
  5. Frises, pavages et rosaces
  6. Exercices
    1. Puzzle

1.

Les isométries

Les isométries sont les transformations conservant les mesures des figures (longueurs et angles).

  • 1. La symétrie axiale
  • 2. La symétrie centrale
  • 3. Rotation
  • 4. Translation

1.1.

La symétrie axiale

La symétrie axiale est la transformation qui associe à une figure son symétrique par rapport à une droite.
[i]A' est le symétrique de A par rapport à une droite (d) signifie que (d) est la médiatrice de [AA'].[br][/i]
Propriétés
[list][*]La symétrie axiale conserve les distances, les aires, les angles, les milieux, l'alignement, le parallélisme et l'orthogonalité.[/*][/list]
– Vincent Huvelle

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

2.

Les homothéties

  • 1. Définition
  • 2. Figures semblables
  • 3. Théorème de Thalès

2.1.

Définition

Appliquer une [color=#ff0000]homothétie[color=#000000] de centre O et de rapport [i]k[/i] ([i]k[math]\ne[/math][/i]0) à une figure, consiste à multiplier la distance entre O et un point de la figure par [i]k[/i] (ou l'opposé de [i]k[/i] lorsque [i]k[/i] est négatif).[/color][/color]
Une homothétie de rapport -1 est une symétrie centrale.
– Vincent Huvelle

2.2.

–

2.3.

–

3.

Les triangles semblables

  • 1. Définition
  • 2. Conditions suffisantes
  • 3. Les triangles isométriques

3.1.

Définition

Deux triangles sont semblables si leurs trois angles ont deux à deux la même mesure.
– Vincent Huvelle

3.2.

–

3.3.

–

4.

Les figures fondamentales

Faire le lien entre les transformations et les figures fondamentales

  • 1. Figures fondamentales

4.1.

Figures fondamentales

Les figures fondamentales sont liées aux transformations
– Vincent Huvelle

5.

Frises, pavages et rosaces


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6.

Exercices

  • 1. Puzzle

6.1.

Puzzle

1)
Construire :[br][list][*]A' l'image de B par la translation qui transforme A en B[/*][*]B' l'image de C par la translation qui transforme B en C[/*][*]C' l'image de D par la translation qui transforme C en D[/*][*]D' l'image de A par la translation qui transforme D en A[br][/*][/list]
2)
Démontrer que les quadrilatères AA'CC' et D'BB'D sont des parallélogrammes.[br]En déduire que A'B'C'D' est un parallélogramme de centre O.
3)
On pose AB=a et AD=b.[br]Exprimer l'aire du parallélogramme A'B'C'D' en fonction de a et de b. [br]comparer cette aire à celle du rectangle ABCD.
– Vincent Huvelle

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