[code][/code][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]O objetivo desse applet é visualizar o que significa que os limites por caminhos sejam diferentes.[br][code][/code]

Observe no applet abaixo o gráfico da função [math]f\left(x,y\right)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/math][b][br][br]As linhas pretas representam a imagem dos eixos coordenados.[/b][br][br]Como f(x,0)=1, a função é constante ao longo do eixo OX e, portanto, o limite de f(x,0) quando x tende a 0 será 1. Isto é, o limite de f(x,y) ao longo do caminho y=0 é 1.[br][br]Como f(0,y)=−1, novamente a função é constante ao longo do eixo OY, mas agora o limite de f(0,y) quando y tende a 0 é -1. Isto é, o limite de f(x,y) ao longo do caminho x=0 é -1.[br][br]Como o limite ao longo dos eixos é diferente, já podemos dizer que o limite total não existe.[br][br]E o que acontece ao longo de outras retas? [b]A linha vermelha representa a imagem das retas y=mx[/b]. Mexa na inclinação m e observe como varia a função ao longo dessas retas.[br][br]No caso, [math]f\left(x,mx\right)=\frac{x^2-m^2x^2}{x^2+m^2x^2}=\frac{1-m^2}{1+m^2}[/math][br][br]Portanto, a função pega valores diferentes ao longo dessas retas. Veremos que os limites também serão diferentes:[br][br]O limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (0,0) ao longo do caminho y=mx é[br][br][math]\lim_{x\to0}f\left(x,mx\right)=\lim_{x\to0}\frac{x^2-m^2x^2}{x^2+m^2x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1-m^2}{1+m^2}=\frac{1-m^2}{1+m^2}[/math] que [b]depende da inclinação m. Logo, o limite não existe![/b]

O que está acontecendo? [br]Se calculamos a imagem da função ao longo das retas y=m, temos que [br] [math]f\left(x,mx\right)=\frac{x^2-m^2x^2}{x^2+m^2x^2}=\frac{1-m^2}{1+m^2}[/math][br][br]Para m diferentes, a função pega valores diferentes ao longo dessas retas. Daí, o limite de f(x,y) ao longo do caminho y=mx é[br][br][math]\lim_{x\to0}f\left(x,mx\right)=\lim_{x\to0}\frac{x^2-m^2x^2}{x^2+m^2x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1-m^2}{1+m^2}=\frac{1-m^2}{1+m^2}[/math] que [b]depende de m. Logo, o limite não existe![/b]