Lineares Wachsen und Abnehmen
Lineares Wachsen und Abnehmen
Table of Contents
- Wiederholung: Direkte Proportionalität
- Direkte Proportionalität
- Lineares Wachstum: Entdecken
- Lineares Wachstum: Entdecken
- Lineares Wachstum: Üben
- Lineares Wachstum: Üben
- Lineares Zeit-Ort-Modell: Entdecken
- Lineares Zeit-Ort-Diagramm: Entdecken
- Lineares Zeit-Ort-Modell: Üben
- Optional: Anleitungen zum Zeichnen in Geogebra
- Einführung - Zeichnen mit GeoGebra
Direkte Proportionalität
Viele Gesetze (also insbesondere Formeln), die den Zusammenhang zwischen zwei Größen beschreiben, folgen einem sehr einfachen Zusammenhang: Vervielfacht man die eine Größe, so vervielfacht sich die andere Größe genauso.[br][br]Beispiele:[br][list][*]Wenn man doppelt so lange fährt, kommt man doppelt so weit. (bei gleicher Geschwindigkeit) Der Weg ist also direkt proportional zur Zeit.[/*][*]Wenn man achtmal so lange arbeitet, bekommt man achtmal so viel Lohn. Der Lohn ist also direkt Proportional zur Arbeitszeit.[/*][*]Wenn man siebenmal so viel Schokolade kauft, muss man auch siebenmal so viel Geld bezahlen. Der Kaufpreis ist also direkt proportional zur Anzahl der Schokoladen.[/*][/list][br]Diese Zusammenhänge lassen sich besonders einfach erkennen und folgen auch einer besonders einfachen "Formel".[br][br]Durchdenke das folgende einfache Alltagsbeispiel (Anhand von Schokaldentafeln). Beantworte danach die Fragen unter dem Applet!
Die "Form" des Graphen
Welche besondere "Form" hat der Graph, wenn man zwei zueinander direkt proportionale Größen (wie z.B. Anzahl der Schokoladen und Gesamtpreis) in einem Koordinatensystem darstellt?
Eine weitere Besonderheit...
Bilde in deinen Messtabellen von vorhin den Quotienten vom Gesamtpreis zur Anzahl der Schokoladen für jede "Messung" in eurer Tabelle. Was fällt dir auf?
Die "Formel" hinter direkt proportionalen Größen
Wie hast du im obigen Beispiel berechnet, wie viel x Schokoladen insgesamt kosten? Stelle einen allgemeinen Term auf!
Zusammenfassung
Mit einem Klick auf "Antwort überprüfen" kannst du dir nochmal eine Zusammenfassung durchlesen!
Lineares Wachstum: Entdecken
Einführungsbeispiel
Ein Gartenteich wir mit Wasser befüllt. Wie viel Wasser in wie vielen Sekunden in den Teich läuft sieht man an der Tabelle unten.[br]
Einführungsbeispiel
Bei den beiden Teichen fließt das Wasser verschieden schnell ein. Trage die Punkte von Teich 1 aus der Tabelle in die Grafik ein! Also gib z.B. ein: A=(0,0). Damit entsteht ein [b]Punktdiagramm.[/b]
Punktdiagramm Teich 1
Nun trage in der folgenden Grafik die Punkte von Teich 2 ein!
Punktdiagramm Teich 2
Welche Unterschiede fallen dir zwischen den zwei Punktdiagrammen auf?
Beschriftung 1
Was kann man an der x-Achse ablesen?
Beschriftung 2
Was kann man an der y-Achse ablesen?
Lineares Wachsen
In dem Einführungsbeispiel kann man gut erkennen, dass in beiden Fällen das Volumen in jeder Sekunde um gleich viel zunimmt. [br]Bei Teich 1 nimmt das Volumen alle 5 Sekunden um einen Liter zu, bei Teich 2 alle 2 Sekunden.[br][br]Diese Gleichmäßigkeit kann durch ein [b]Liniendiagramm [/b]dargestellt werden.[br][br][b]Lineares Wachsen[/b] bedeutet: [br][b]Gleiche Zunahme [/b]der einen Größe bewirkt immer [b]gleiche Zunahme [/b]der anderen Größe!
Funktionsgleichung aufstellen
Wie schon im Kapitel direkte Proportionalität haben wir auch hier wieder die Möglichkeit, die Abhängigkeiten als [b]Funktionsgleichung[/b] darzustellen.[br]Auch hier gilt [math]f\left(x\right)=k\cdot x[/math], wobei k die Steigung beschreibt. Je größer dieses k ist, umso steiler steigt der Funktionsgraph (im Liniendiagramm).
Stimmungscheck
Wie gut hast du dieses Einführungsbeispiel verstanden?[br](z.B. super, mittel, gar nicht,...)
Lineares Wachstum: Üben
Bsipiel 1: 3D-Druck
Ein 3D-Drucker benötigt zwei Stunden, um ein Bauteil für ein Auto zu drucken.[br][size=100][size=150]Stelle dies mit den Größen Zeit (in Stunden) und Anzahl der Bauteile:[br][br]a) in einer Tabelle für die ersten sechs Stunden[br]b) in einem Punktdiagramm für die ersten sechs Stunden[br][br]dar.[br][/size][/size]
Tabelle 3D-Druck
Punktdiagramm 3D-Druck
Wie viele Bauteile kann der 3D-Drucker in 6 Stunden erzeugen?
Beispiel 2: Urlaub
Frau Rosa macht Urlaub. Pro Tag rechnet sie mit Ausgaben von 72€ für Essen, Eintrittskarten, Souvenirs, etc.[br]a) Stelle eine Tabelle mit den Gesamtkosten auf, wenn sie einen Tag, zwei Tage, ..., zehn Tage verreisen will!
Tabelle Urlaubskosten
b) Wie lange kann sie Urlaub machen, wenn sie insgesamt maximal 670€ dort ausgeben will?
c) Stelle die Urlaubskosten auch in einem Punkt- und einem Liniendiagramm dar!
Punkt- und Liniendiagramm
Wie gut hast du die Übungsbeispiele verstanden?[br](z.B. super, mittel, gar nicht, ...)
Lineares Zeit-Ort-Diagramm: Entdecken
Lineare Zeit-Ort-Diagramme
Teste hier aus, wie [b]Liniendiagramme[/b] mit verschiedenen Geschwindigkeiten des Zugs aussehen.
Vergleiche die Züge mit der Geschwindigkeit von 72 km/h und 144 km/h. Welcher der Züge kommt schneller an?
Nach wie vielen Minuten kommt der Zug mit 72 km/h an?
Nach wie vielen Minuten kommt der Zug mit 144 km/h an?
Was bedeutet die zur x-Achse parallele Linie?