Perspektive & Projektionsverfahren? Ansichtssache!
Projektionen als Abbildungen R³ -> R³ bzw. R³ -> R². Diese Konstruktionen und Informationen sind so nicht immer direkt als Lernumgebungen für Schüler konzipiert, sondern zur Hintergrund-Information für Lehrkräfte. Erstveröffentlichung 1.11.2017
Table of Contents
- Grundsätzliches
- Einführung
- Projektionsarten
- Schräge Parallelprojektionen
- Senkrechte Parallelprojektionen
- Axonometrie
- Schrägbilder
- Zentralprojektionen
- "Video kills the Radio Star"
- Grundriss - Aufriss - Seitenriss, Mehrtafel-Ansichten
- Grundriss - Aufriss - Seitenriss eines Tetraeders
- Dreitafel-Ansicht Prisma in OPP
- Zweitafel-Ansicht und Umprojizieren (in Arbeit)
- Schräge Parallelprojektionen
- Kavalierprojektion KAV_x
- Kavalierprojektion KAV_y
- Militärprojektion MIL_z
- Kavalier- und Militärperspektive
- Orthogonale Parallelprojektionen
- GeoGebra Standardansicht
- Dimetrie (Ingenieurprojektion) als OPP
- Isometrie als OPP
- Zentralprojektionen
- GGB Zentralprojektion-1
- GGB Zentralprojektion-2
- Projektionen & Matrizen
- Coming soon
- Bilder einer Ausstellung
- Galerie
- Unmögliche Figur
- Unmögliche Perspektive
- Feedback
- Literatur
- Literatur
- MyBooks: Liste meiner öffentlichen GeoGebra Books
Einführung
Wenn 3D Objekte in 2D abgebildet werden, gibt es zwangsläufig Informationsverluste. Welche und wieviele, hängt von den gewählten Projektionsverfahren ab. Mit den unterschiedlichen Projektionsarten kann man unterschiedliche Bildansichten eines Objektes erzeugen. Die Auswirkungen der jeweiligen Projektion auf das ebene Bild können in diesem Book exemplarisch an einem Würfel und einer (In-)Kugel betrachtet werden.[br][br]Bei den in diesem Book vorgestellten GGB-Dateien sind nur die positiven Koordinatenachsen sichtbar, weil das die spezielle Art der Projektion deutlicher macht. [br]Das kann aber in den Grafik-Eigenschaften bei den Achsen auch einfach wieder aufgehoben werden, so dass dann die Koordinatenachsen in beide Richtung sichtbar werden.[br]Zusätzlich ist noch das ebene Dreibein, das Bild der drei Einheitsvektoren, in der Bildebene hervorgehoben.[br][br]Diese Dateien sind vorwiegend für die Lehrerhand als [b]Background-Wissen[/b] gedacht, sie sind so noch keine Schülerdateien. Aber sie können für die Lehrkräfte eine Hilfe sein, sich für ein Verfahren zu entscheiden. Meist wird man sich dabei auch am eingeführten Schulbuch orientieren.[br]Im regulären Unterricht hat man selten die Zeit, all diese Verfahren zu thematisieren, aber das könnte ein schönes Thema für Projekttage sein. [br][br]Zur Begrifflichkeit: Wenn es um die Abbildungen geht, spreche ich von [i]Projektionen[/i]. Wenn es um die Bilder geht, oft auch von [i]Perspektive[/i].[br][br][size=85][color=#666666]Vielen Dank an Mathieu Blossier (Rouen), Andreas Lindner (Linz), Günter Seebach (Hennef) und Hans Walser (Basel) für ihre Unterstützung![br][br][/color][/size]Aktualisierung 22.10.2023
Grundriss - Aufriss - Seitenriss eines Tetraeders
[size=150]Hier können mit den Schaltflächen die orthogonalen Projektionen in die Ebenen durch die Koordinatenachsen eingestellt werden. [br]Dabei werden jeweils die beiden Achsen so angezeigt, dass die horizontale Achse nach rechts und die vertikale Achse nach oben zeigt.[br]Die jeweils dritte Achse steht auf den beiden anderen senkrecht und ist in der Projektion nur als entsprechender Punkt zu sehen.[br]x-Achse: rot, y-Achse grün, z-Achse blau. [/size]
Hinweis 1:[br]Im Technischen Zeichnen sind die Begriffe Grundriss, Aufriss und Seitenriss gebräuchlich. [br]Dabei wird aber in der Regel nicht explizit auf die Koordinatenachsen Bezug genommen.[br]Wenn doch, findet man in der Literatur, dass mal die Projektion in die xz-Ebene der Aufriss (die Vorderansicht) sei, mal die yz-Ebene. Bei der Seitenansicht entsprechend.[br]Deshalb wird in den Schaltflächen auf diese Bezeichnungen verzichtet und nur die Bildebene genannt.[br][br]Hinweis 2: [br]Projiziert man senkrecht so, dass die waagerechte Achse immer nach rechts zeigt und die lotrechte immer nach oben, so hat man aus Gründen der Orientierung des 3D-xyz-Koordinatensystems folgende Blickrichtungen:[br]xy-Ebene: Blickrichtung -e[sub]3[/sub].[br]xz-Ebene: Blickrichtung e[sub]2[/sub].[br]yz-Ebene: Blickrichtung -e[sub]1[/sub]. [br][br]Aktualisierung: 26.10.2023
Kavalierprojektion KAV_x
[size=150]Hier geht es um die erweiterte Aufriss-Ansicht, die Kavalierprojektion in die yz-Ebene. [br]Die y-Achse und die z-Achse werden unverzerrt dargestellt und stehen rechtwinklig aufeinander.[br]Die x-Achse liegt im yz-System 'schräg nach vorne', meist mit einem Winkel von 45° und wird meist verkürzt gezeichnet. Hier ist der Verkürzungsfaktor zunächst 0,7071 (halbe Kästchendiagonale), passend zum händischen Zeichnen in der Sekundarstufe I. [br]Dieser Verkürzungsfaktor ist die Länge des projizierten Einheitsvektors e[sub]1[/sub], dessen Endpunkt im yz-System die Koordinaten (-1/2, -1/2) hat.[/size]
[size=150]Diese Perspektive mit dem Faktor 0.7071 ist auf die handlungsorientierte 'Kästchenmethode' ausgerichtet.[br]Eine meist als schöner empfundene Ansicht erhält man mit dem Faktor 0.5.[br]Dazu klicken Sie mit der rechten Maustaste ins 3D Grafikfenster. Dann [i]3D Grafik .../ Projektion[/i] und dort bei [i]Faktor [/i]0.5 eingeben.[br][br][/size]Aktualisierung 23.10.2023
GeoGebra Standardansicht
[size=150]GeoGebra hat eine als Default eingestellte Ansicht, die auf einer senkrechten Parallelprojektion beruht. Sie ist eine trimetrische Axonometrie und mit keiner der hier vorgestellten Projektionen aus Schule und Technischem Zeichnen identisch. Sie ist vielmehr von 3D Computerspielen inspiriert.[br][br]Diese Standard-Ansicht kann man mit dem Befehl [i]SetViewDirection(Vector((1;120°;-20°)))[/i] in Kugelkoordinaten erzeugen. bzw. wiederherstellen. Dabei muss man darauf achten, dass bei der [i]Projektionart[/i] auch die orthogonale [i]Parallelprojektion [/i]ausgewählt ist![br]Die axonometrischen Parameter sind 0.94 : 0.62 : 1 und α = 258.8°, β = 59.6°.[br][br]Hinweis: Es gibt auch noch den Befehl [i]Strg M[/i]. Dieser stellt jedoch nicht (!) die Standard-Ansicht im obigen Sinne wieder her, sondern setzt nur innerhalb der jeweiligen Projektion den Zoom auf die Standardgröße 100% und den Koordinatenursprung auf die Standardposition.[/size]
[size=150]In dieser Ansicht haben wir eine Trimetrie. Alle drei Dimensionen haben unterschiedliche Verkürzungsfaktoren.[br]Sie ist weder mit den mathematischen schrägen Parallelprojektionen noch mit den technischen orthogonalen Parallelprojektionen identisch. [br]Diese Perspektive ist von der Welt der Computerspiele inspiriert.[/size][br][br]Aktualisierung 23.10.2023
GGB Zentralprojektion-1
Coming soon
Galerie
Hier sind verschiedene parallelperspektive Ansichten eines Würfels mit seiner Inkugel zu sehen. [br]Die Bilder haben Originalgröße, sie wurden nicht skaliert![br]
Die 'Standardansicht' ist die voreingestellte GeoGebra-Standardansicht. [br]Im deutschen Mathematikunterricht ist der Standard eher eine Kavalierprojektion (schräge Parallelprojektion), [br]im technischen Zeichnen eher eine Dimetrie (orthogonale Parallelprojektion)
Literatur
Artmann, B. & Törner, G. (1984): Lineare Algebra und Geometrie. Vandenhoek & Ruprecht, Göttingen[br][br]Elschenbroich, H.-J. & Meiners, J.-C. (1994): Computergraphik und Darstellende Geometrie im Unterricht der Linearen Algebra. Ferd. Dümmlers Verlag, Bonn[br][br]Jooss, Birgit (2000): Die 'Zerschlagung' der Zentralperspektive - Der Kubismus und seine Folgen. [br]http://archiv.ub.uni-heidelberg.de/artdok/3112/1/Jooss_Die_Zerschlagung_der_Zentralperspektive_2000.pdf [br][br]Wikipedia: Axonometrie. [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Axonometrie]https://de.wikipedia.org/wiki/Axonometrie [/url] [br][br]Wikipedia: Graphical projection. [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Graphical_projection]https://en.wikipedia.org/wiki/Graphical_projection[/url]