Kun voima siirtää kappaletta, niin tällöin tehdään [b]työtä[/b]. Vakiovoimalla tehty työ on suoraan suhteessa siirrettyyn matkaan eli[br][br][b]Työ = Voima [/b][math]\times[/math] [b]Matka [/b]eli [math] W=\int Fds = F\cdot s. [/math][br][br]Oletetaan, että [i]x[/i]-akselin suuntainen voima siirtää kappaletta paikasta [i]x = a[/i] paikkaan [i]x[/i] = [i]b[/i] ja voima on jatkuva funktio ts. [math]F = F(x).[/math] Nyt kohdistuva voima ei ole vakio, eli [br][br][math] W=\int_a^b dW=\int_a^b F(x)dx. [/math][br]

Jousen venyttämiseen (tai kokoonpainamiseen ) tarvittava voima saadaan jousivakion ja matkan avulla:[br][br][math] F(x) = kx.[/math][br][br]Jousen venyttämiseksi 4 cm pidemmäksi tarvitaan 2 kN voima. Kuinka paljon työtä venyttämiseen tarvitaan?[br][br]Jousen venyttämiseksi 4 cm mittaiseksi tarvitaan 2 kN:n voima eli [math] F(4cm) =k\cdot 4\,cm = 2kN.[/math] Tästä saadaan määritettyä jousivakiolle arvoksi:[br][br][math] k = \frac{2000\;N}{4\; cm}= 500 \frac{N}{cm}.[/math][br][br]Tarvittava työ on siis [br][br][math] W = \int_0^4 F(x)\,dx=\int_0^4 kx\,dx=\left [k\cdot \frac{1}{2}x^2\right ]_0^4=\frac{1}{2}k\cdot\left [x^2\right ]_0^4=\frac{1}{2}\cdot500 \frac{N}{cm}\cdot (4^2-0^2) = 4000 \;Ncm= 40\; Nm = 40\; J.[/math]

Kartion muotoinen tankki on täynnä vettä, ja se on tarkoitus pumpata tyhjäksi. Tankki on kokonaisuutena maan päällä ja sen korkeus on 4 m ja pohjan halkaisija 6 m. Kuinka paljon työtä tarvitaan tankin tyhjentämiseksi?

Vettä pumpataan alussa ylöspäin maan vetovoimaa vastaan. Vaikka putki menee tankin pohjalle, sen vesipinta on samalla tasolla kuin tankinkin. Käytännössä tämä tarkoittaa, että pumppaaminen tarvitsee tehdä vain veden pintatasosta ylöspäin. Pumpattaessa vedenpinta kuitenkin laskee eli koko ajan matka kasvaa. Tästä syystä johtuen voiman funktio on muodostettava äärimmäisen ohuille "levyille".[br][br][math] F= mg = \rho V g[/math][br][br]Koska tilavuus lasketaan äärimmäisen ohuille levyille, se saadaan parhaiten poikkileikkauksen pinta-alan avulla. Poikkileikkauksen säde muuttuu pinnan laskiessa, mutta se säteen ja korkeuden suhde pysyy koko ajan samana verrattuna alkutilanteeseen eli[br][br][math]\frac{r}{h}=\frac{3}{4} \;\Leftrightarrow \; r=\frac{3}{4} h.[/math][br][br]Tällöin [br][br][math] A(h) =\pi r^2 h=\frac{9}{16}\pi h^2.[/math][br][br]Koska pinta-ala on tilavuuden derivaatta, niin [br][br][math] dV=A(h) =\frac{9}{16}\pi h^2 dh [/math][br][br]ja[br][br][math] dF=\rho g\, dV =\frac{9}{16}\rho g \pi h^2 dh. [/math][br][br]Alussa tankki on aivan täynnä eli pumpattavaa ei ole (matka on 0), mutta aina kun vettä poistuu, niin vedenpinta laskee. Työhön käytettävä matka siis kasvaa pumppauksen edetessä. Jos vedenpinta on korkeudella [i]h[/i], niin pumppattava matka on [math]x= 4- h[/math] ja[br][br][math] dW =x\cdot dF= \frac{9}{16}\rho g \pi h^2 (4-h) dh.[/math][br][br]Kokonaistyö on siis [br][br][math]\begin{eqnarray}[br]W&=&\int_0^4 \frac{9}{16}\rho g \pi h^2 (4-h) dh\\[br]&=& \frac{9}{16}\rho g \pi \int_0^4 (4h^2-h^3) dh\\[br]&=&\frac{9}{16}\rho g \pi \left [\frac{4}{3} h^3-\frac{1}{4}h^4\right ]_0^4\\[br]&=&\frac{9}{16}\cdot 1000\cdot 9.8 \pi \left (\frac{4}{3} \cdot 4^3-\frac{1}{4}\cdot 4^4 - 0\right )\\[br]&\approx& 3.69\cdot 10^5 \; Nm,[br]\end{eqnarray}[br][/math][br][br]missä [math]\rho = 1\; kg/dm^3 = 1000\; kg/m^3.[/math]