Im [url=https://www.geogebra.org/material/edit/id/unkkrcuj]vorhergehenden Kapitel[/url] haben wir gesehen, was eine Minimalkostenkombination zweier Produktionsfaktoren ist und wie wir diese graphisch mit Hilfe der Isoquanten und einer Isokostenfunktion finden können.[br][br]Dabei kam heraus, [color=#980000][b]dass die Kosten genau dann minimal sind, wenn sich die Funktionsgraphen der Isoquanten und der Isokostenfunktion nur noch in [color=#ff7700]einem[/color] Punkt berühren[/b][/color].

Zwei Funktionen [math]f(x)[/math] und [math]g(x)[/math] berühren sich in einem Punkt [math]\mathbf{P}(p_x|p_y)[/math], wenn[br][list=1][*]dieser Punkt Teil der Funktionsgraphen beider Funktonen ist, also [math]f(p_x)=p_y[/math] und [math]g(p_x)=p_y[/math][/*][*]die Funktionsgraphen [b][color=#980000]an dieser Stelle die gleiche Steigung haben[/color][/b], also [math]f'(p_x)=g'(p_x)[/math][/*][/list]

Für unsere Minimalkostenkombination muss also die Steigung der Isoquanten gleich der Steigung der Isokostenfunktion sein: [math]y'(x)=I'_K(x)[/math][br][br]Wenn diese Gleichung nach [math]x[/math] aufgelöst wird, dann erhält man den Berührpunkt von Isoquante und Isokostenfunktion. Gehen wir nun schrittweise vor:[br][br]Die Ableitung der Isoquanten ist:[br][math]I'_{Output}:y'(x)=-\frac{k}{(x-a)^2}[/math][br]Die Isokostenfunktion ist eine lineare Funktion, daher kann man hier die Ableitung - also die Steigung - direkt ablesen: [math]I'_K(x)=-\frac{p_x}{p_y}[/math][br][br]Für die [math]x[/math]-Koordinate der Minimalkostenmobination [math]x_{MKK}[/math] gilt also:[br][br][math]-\frac{k}{(x_{MKK}-a)^2}=-\frac{p_x}{p_y}[/math] und damit auch [math]\frac{k}{(x_{MKK}-a)^2}=\frac{p_x}{p_y}[/math] [br][br][color=#ff7700][b]Achtung: [/b][/color]Verwechseln Sie das kleine [math]k[/math] der Isoquante bitte nicht mit den Kosten, die als großes [math]K[/math] geschrieben werden![br][br]Umstellen der Gleichung nach [math]x_{MKK}[/math] führt zu [math]\underline{\underline{x_{MKK}=\sqrt{k\cdot\frac{p_y}{p_x}}+a}}[/math] [br]Sie erhalten die [math]y[/math]-Koordinate [math]y_{MKK}[/math], indem Sie die [math]x[/math]-Koordinate [math]x_{MKK}[/math] in die Isoquante [i]oder[/i] in die Isokostenfunktion einsetzen, also [math]\underline{\underline{y_{MKK}=y(x_{_{MKK}})=I_K(x_{MKK})}}[/math].

Mit unsren Bemühungen oben haben wir die Minimalkostenkombination [math](x_{MKK}|y_{MKK})[/math] berechnet.[br]Die Kosten zu dieser Kombination erhalten wir nun mit der Gleichung:[br][math]K_{min}=p_x\cdot x_{MKK}+p_y\cdot y_{MKK}[/math]

Im folgenden Applet sind jeweils eine Isoquantenfunktion und die Preise [math]p_x[/math] und [math]p_y[/math] der Produktionsfaktoren [math]x[/math] und [math]y[/math] gegeben. Berechnen Sie dazu[br][list][*]die Minimal-Kosten-Kombination [math](x_{MKK}\vert y_{MKK})[/math] [/*][br][*]die minimalem Kosten [math]K[/math][/*][/list]