Séries de Fourier
As séries de Fourier fornecem um modo de expressar funções, sejam elas mais simples ou mais complicadas, em termos de séries trigonométricas de senos e/ou cossenos. Além de sua associação ao método de separação de variáveis e às EDPs, as séries de Fourier são úteis na análise de sistemas mecânicos ou elétricos sob a ação de forças externas periódicas. Esse material foi desenvolvido em colaboração com a aluna Daiane Frighetto do Doutorado em Matemática Aplicada da UFRGS. [b]Referências:[/b] [list] [*] BOYCE, Willian E.; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Contorno. 10ª Edição, Rio de Janeiro, 2017. [*] ZILL, Dennis G.; Cullen, Michael R. Equações diferenciais. Pearson Makron Books, São Paulo, v. 2, 2001. [/list]
Table of Contents
- Série de Fourier: resumo da teoria
- Série de Fourier
- Exemplos
- Função Triangular
- Função Retangular
- Função Quadrada
- Função Dente de Serra
- Da lista de exercícios nº 8: ex. 3, 4 e 6
- Prolongamento periódico par e ímpar: resumo da teoria
- Prologamento periódico par e ímpar
- Exemplos
- Da lista de exercícios nº 8: ex. 7
Série de Fourier
Considere [math]f(x)[/math]uma função. Dado que[math]\left\{cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right),\ sen\left(\frac{n\pi x}{L}\right);\ m=0,1,2,3,...;\ n=1,2,3,...\right\}[/math] é um conjunto ortogonal completo no intervalo de [math]-L[/math] a[math]L[/math], a série de Fourier de [math]f(x)[/math] com relação a esse conjunto ortogonal é dada por:
[center] [math]g\left(x\right)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_ncos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_nsen\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right][/math],[/center]onde:
[math]a_0=\frac{1}{2L}\int_{-L}^Lf\left(x\right)dx[/math], [math]a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf\left(x\right)cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx[/math] e [math]b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^Lf\left(x\right)sen\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx[/math] com [math]n=1,2,...[/math]
Função Triangular
Seja:[center] [math]f\left(x\right)=-x,\ -2\le x<0[/math] [br][math]f\left(x\right)=x,\ 0\le x<2[/math][/center]onde [math]f\left(x+4\right)=f\left(x\right)[/math].[br]Essa função possui período fundamental igual a 4.[br][br]A série de Fourier de [math]f\left(x\right)[/math] é dada por:[br][br][math]g\left(x\right)=1-\frac{8}{\pi^2}\sum_{n=1}^{^{\infty}}\frac{1}{\left(2n-1\right)^2}\cdot cos\left(\frac{\left(2n-1\right)\pi x}{2}\right)[/math]
Prologamento periódico par e ímpar
Seja[math]f(x)[/math] uma função. Definimos:
[b][color=#1e84cc][center][size=85][size=150][/size][/size][/center][/color][/b][size=200][b][color=#1e84cc][center][size=85][size=150]Prolongamento periódico par:[/size][/size][/center][/color][/b][/size]
Dado que [math]\left\{cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right),m=0,1,2,...\right\}[/math] é um conjunto ortogonal completo no intervalo de [math]0[/math] a[math]L[/math]. A série de Fourier da função [math]f(x)[/math] com respeito a esse conjunto ortogonal é dada por:
[math]g\left(x\right)=a_0+\sum_{m=1}^{^{\infty}}a_mcos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)[/math][br]onde:
[br][math]a_0=\frac{1}{L}\int_0^Lf\left(x\right)dx[/math] e [math]a_m=\frac{2}{L}\int_0^Lf\left(x\right)cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)dx[/math].
[b][color=#1e84cc][center][size=85][size=150][/size][/size][/center][/color][/b][size=200][b][color=#1e84cc][center][size=85][size=150]Prolongamento periódico ímpar:[/size][/size][/center][/color][/b][/size]
Dado que [math]\left\{sen\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\ n=1,2,...\right\}[/math] é um conjunto ortogonal completo no intervalo de [math]0[/math] a[math]L[/math]. A série de Fourier da função [math]f(x)[/math] com respeito a esse conjunto ortogonal é dada por:
[math]g\left(x\right)=\sum_{n=1}^{^{\infty}}b_nsen\left(\frac{n\pi x}{L}\right)[/math][br]onde:
[br][math]b_n=\frac{2}{L}\int_0^Lf\left(x\right)sen\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx[/math].
Da lista de exercícios nº 8: ex. 7
Seja: [br][center][math]f\left(x\right)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2}[/math][/center]para todo [math]x\in\mathbb{R}[/math].
a) Série de Fourier de f(x) de -1 a 1:
Coeficientes de Euler-Fourier: [math]a_0=\frac{1}{2}[/math], [math]a_n=0[/math] e [math]b_n=\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n\pi}[/math].
Portanto, a série de Fourier da função[math]f(x)[/math] é dada por:[br][math]g\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{\left(n+1\right)}}{n}\cdot sen\left(n\pi x\right)[/math]
b) Prolongamento periódico par:
A série de Fourier da função[math]f(x)[/math] é dada por:[br][math]g\left(x\right)=\frac{3}{4}-\frac{2}{\pi^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}\cdot cos\left(\left(2n+1\right)\pi x\right)[/math]
c) Prolongamento periódico ímpar:
Coeficientes de Euler-Fourier: [math]a_0=0[/math], [math]a_n=0[/math] e [math]b_n=\frac{2\left(-1\right)^{n+1}+1}{n\pi}[/math].
Portanto, a série de Fourier da função[math]f(x)[/math] é dada por:[br][math]g\left(x\right)=\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\left(-1\right)^{n+1}+1}{n}\cdot sen\left(n\pi x\right)[/math]