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Näherungsverfahren

Andreas Lindner, Jan 15, 2023

Wozu Näherungsverfahren?
1. Wozu Näherungsverfahren?
Sekundarstufe 1
1. Nostalgie: Händische Berechnung der (Quadrat)Wurzel
2. Rechenschieber 3
3. Intervallhalbierungsverfahren für die Quadratwurzel (Tabelle)
4. Intervallhalbierungsverfahren für die Quadratwurzel (Skript)
5. Intervallhalbierungsverfahren für die Quadratwurzel (Skript) - einfache Version
6. Intervallhalbierungsverfahren für die n-te Wurzel (Skript)
7. Berechnen der Wurzel durch Intervallschachtelung
8. Das Heron'sche (Babylonische) Wurzelziehen (Tabelle))
9. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
10. Iteration - das Prinzip
11. Das Babylonische Wurzelziehen für die Kubikwurzel
12. Näherung für den Kreisumfang
13. Monte Carlo - Methode für Pi
14. Monte Carlo-Näherung für Pi
15. Näherungsweise Berechnung von Pi (Archimedes)
Sekundarstufe 2
1. Intervallhalbierungsverfahren
2. Regula falsi
3. Regula falsi und Newton-Verfahren
4. Das Newtonsche Näherungsverfahren
5. Das Newtonsche Näherungsverfahren (Skript)
6. Newtonsches Näherungsverfahren für Minimum/Maximum
7. Taylorpolynome
8. Die Keplersche Fassregel - Teil 1
9. Die Keplersche Fassregel - Teil 2
10. Numerische Integration
11. Die Simpson-Methode
12. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts 1
13. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts 2
14. Flächeninhalt eines Vielecks
15. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalt 1
16. Rotationsvolumen
17. Näherungsformeln für die Zahl Pi
Weiterführendes
1. Satz von Taylor
2. Beispiel 1: Konvergenzradius von Potenzreihen
3. Fourier-Reihe für Rechteckschwingung
4. Fourier-Analyse einer Kippschwingung
5. Allgemeines Iterationsverfahren (Fixpunktverfahren)
6. Fixpunktsatz
7. Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren
8. Berechnung des schiefen Wurfs durch Halbschrittverfahren
9. Satellitenbahn (Euler-Cauchy-Verfahren)
10. Satellitenbahn 3D
11. Euler-Verfahren für ein mathematisches Pendel
12. Richtungsfeld
13. Euler-Lagrange-Methode
14. Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 2. Ordnung
15. Numerische Lösung für ein Fadenpendel
16. Krümmung und Krümmungskreis
17. Näherungsweise Berechnung der Eulerschen Zahl e

Information

Wozu Näherungsverfahren?

1. Wozu Näherungsverfahren?

Wozu Näherungsverfahren?

Frage 1

a) Wie berechnet man eigentlich

? Wenn

ist und unendlich viele Nachkommastellen hat, dann kann man ja beim Multiplizieren

gar nicht rechts beginnen. b) Und wie soll man dann

berechnen?

kann man ja schon gar nicht berechnen.

Frage 2

Wie berechnet man den Flächeninhalts eines Rechtecks? Bei einem Rechteck mit Länge 3 und Breite 2 ist alles klar, aber wie soll man

berechnen?

Font sizeFont size

Very smallSmallNormalBigVery big

Bold [ctrl+b]

Italic [ctrl+i]

Underline [ctrl+u]

Strike

Superscript

Subscript



Font color

Auto

Justify

Align left

Align right

Align center

• Unordered list

1. Ordered list

Link [ctrl+shift+2]

Quote [ctrl+shift+3]

[code]Code [ctrl+shift+4]

Insert table

Remove Format

Insert image [ctrl+shift+1]

Insert icons of GeoGebra tools

[bbcode]

Text tools

Insert Math

Erstelle eine Intervallschachtelung für

und eine für

. Das Produkt der jeweils unteren und jeweils oberen Schranken ergeben eine Intervallschachtelung für

Frage 3

Für welche Gleichungen gibt es eine Lösungsformel?

Für lineare Gleichungen (algebraische Gleichungen 1. Grades) wie z.B.

Für algebraische Gleichungen 5. oder höheren Grades. Für algebraische Gleichungen 4. Grades wie z.B.

Für algebraische Gleichungen 3. Grades wie z.B.

Für alle denkbaren Gleichungen über

, nur werden diese in der Schule nicht unterrichtet. Für quadratische Gleichungen (algebraische Gleichungen 2. Grades) wie z.B.

Frage 4

Wie kann man eine Gleichung wie

mit einem Parameter

über

lösen? Hat diese Gleichung überhaupt eine Lösung oder existieren eventuell auch mehrere Lösungen?

Diese Gleichung kann nicht exakt gelöst werden. Diese Gleichung kann eine oder auch mehrere Lösungen haben, abhängig vom Parameter

. Diese Gleichung kann nur näherungsweise mit einem entsprechenden Näherungsverfahren gelöst werden. Diese Gleichung ist grundsätzlich unlösbar, sie ist auch nicht näherungsweise lösbar.

– Andreas Lindner

Sekundarstufe 1

1. Nostalgie: Händische Berechnung der (Quadrat)Wurzel
2. Rechenschieber 3
3. Intervallhalbierungsverfahren für die Quadratwurzel (Tabelle)
4. Intervallhalbierungsverfahren für die Quadratwurzel (Skript)
5. Intervallhalbierungsverfahren für die Quadratwurzel (Skript) - einfache Version
6. Intervallhalbierungsverfahren für die n-te Wurzel (Skript)
7. Berechnen der Wurzel durch Intervallschachtelung
8. Das Heron'sche (Babylonische) Wurzelziehen (Tabelle))
9. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
10. Iteration - das Prinzip
11. Das Babylonische Wurzelziehen für die Kubikwurzel
12. Näherung für den Kreisumfang
13. Monte Carlo - Methode für Pi
14. Monte Carlo-Näherung für Pi
15. Näherungsweise Berechnung von Pi (Archimedes)

Nostalgie: Händische Berechnung der (Quadrat)Wurzel

Boxhofer, E., Huber,F., Lischka, U., Panhuber, B. (2008): mathematiX 4. Linz: Veritas.

Anleitung zum händischen Wurzelziehen

Wurzelziehen als Nebenrechnung

Beispiele zum händischen Wurzelziehen

Fünfstellige Tafeln

– Andreas Lindner

Sekundarstufe 2

1. Intervallhalbierungsverfahren
2. Regula falsi
3. Regula falsi und Newton-Verfahren
4. Das Newtonsche Näherungsverfahren
5. Das Newtonsche Näherungsverfahren (Skript)
6. Newtonsches Näherungsverfahren für Minimum/Maximum
7. Taylorpolynome
8. Die Keplersche Fassregel - Teil 1
9. Die Keplersche Fassregel - Teil 2
10. Numerische Integration
11. Die Simpson-Methode
12. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts 1
13. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts 2
14. Flächeninhalt eines Vielecks
15. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalt 1
16. Rotationsvolumen
17. Näherungsformeln für die Zahl Pi

Intervallhalbierungsverfahren

Die Nullstelle einer Funktion kann durch systematischen Halbieren des Intervalls [a; b] immer genauer bestimmt werden. Aufgabe Erhöhe mit dem Schiebregler n die Anzahl der Halbierungsschritte. Zoome bei Bedarf in die Konstruktion.

– Andreas Lindner

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

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3.11.

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3.12.

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3.13.

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3.14.

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3.15.

–

3.16.

–

3.17.

–

4.

Weiterführendes

1. Satz von Taylor
2. Beispiel 1: Konvergenzradius von Potenzreihen
3. Fourier-Reihe für Rechteckschwingung
4. Fourier-Analyse einer Kippschwingung
5. Allgemeines Iterationsverfahren (Fixpunktverfahren)
6. Fixpunktsatz
7. Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren
8. Berechnung des schiefen Wurfs durch Halbschrittverfahren
9. Satellitenbahn (Euler-Cauchy-Verfahren)
10. Satellitenbahn 3D
11. Euler-Verfahren für ein mathematisches Pendel
12. Richtungsfeld
13. Euler-Lagrange-Methode
14. Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 2. Ordnung
15. Numerische Lösung für ein Fadenpendel
16. Krümmung und Krümmungskreis
17. Näherungsweise Berechnung der Eulerschen Zahl e

4.1.

Satz von Taylor

A. Hinrichs: Analysis für Lehramt. Vorlesungsnotizen - 2016/17. Johannes Kepler Universität Linz

Darstellung der Taylor-Entwicklung für Funktionen in 2 Variablen Aufgabe Bewege den Punkt P. Erhöhe mit dem Schieberegler den Grad n der Entwicklung und verändere die Größe der dargestellten Fläche. Betrachte die Taylor-Entwicklung für andere Funktionen f, z. B. für f(x,y) = sin(x) + 2, f(x,y) = 0.5*exp(x)*y etc

– Andreas Lindner

A timeout occurred. Trying to re-save …

Sorry, but the server is not responding. Please wait a few minutes and then try to save again.

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Näherungsverfahren

Table of Contents

Information

Wozu Näherungsverfahren?

Wozu Näherungsverfahren?

Frage 1

Frage 2

Frage 3

Frage 4

Sekundarstufe 1

Nostalgie: Händische Berechnung der (Quadrat)Wurzel

Anleitung zum händischen Wurzelziehen

Wurzelziehen als Nebenrechnung

Beispiele zum händischen Wurzelziehen

Fünfstellige Tafeln

Sekundarstufe 2

Intervallhalbierungsverfahren

Weiterführendes

Satz von Taylor