Näherungsverfahren

Andreas Lindner, Jan 15, 2023

Table of Contents

  1. Wozu Näherungsverfahren?
    1. Wozu Näherungsverfahren?
  2. Sekundarstufe 1
    1. Nostalgie: Händische Berechnung der (Quadrat)Wurzel
    2. Rechenschieber 3
    3. Intervallhalbierungsverfahren für die Quadratwurzel (Tabelle)
    4. Intervallhalbierungsverfahren für die Quadratwurzel (Skript)
    5. Intervallhalbierungsverfahren für die Quadratwurzel (Skript) - einfache Version
    6. Intervallhalbierungsverfahren für die n-te Wurzel (Skript)
    7. Berechnen der Wurzel durch Intervallschachtelung
    8. Das Heron'sche (Babylonische) Wurzelziehen (Tabelle))
    9. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
    10. Iteration - das Prinzip
    11. Das Babylonische Wurzelziehen für die Kubikwurzel
    12. Näherung für den Kreisumfang
    13. Monte Carlo - Methode für Pi
    14. Monte Carlo-Näherung für Pi
    15. Näherungsweise Berechnung von Pi (Archimedes)
  3. Sekundarstufe 2
    1. Intervallhalbierungsverfahren
    2. Regula falsi
    3. Regula falsi und Newton-Verfahren
    4. Das Newtonsche Näherungsverfahren
    5. Das Newtonsche Näherungsverfahren (Skript)
    6. Newtonsches Näherungsverfahren für Minimum/Maximum
    7. Taylorpolynome
    8. Die Keplersche Fassregel - Teil 1
    9. Die Keplersche Fassregel - Teil 2
    10. Numerische Integration
    11. Die Simpson-Methode
    12. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts 1
    13. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts 2
    14. Flächeninhalt eines Vielecks
    15. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalt 1
    16. Rotationsvolumen
    17. Näherungsformeln für die Zahl Pi
  4. Weiterführendes
    1. Satz von Taylor
    2. Beispiel 1: Konvergenzradius von Potenzreihen
    3. Fourier-Reihe für Rechteckschwingung
    4. Fourier-Analyse einer Kippschwingung
    5. Allgemeines Iterationsverfahren (Fixpunktverfahren)
    6. Fixpunktsatz
    7. Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren
    8. Berechnung des schiefen Wurfs durch Halbschrittverfahren
    9. Satellitenbahn 3D
    10. Satellitenbahn (Euler-Cauchy-Verfahren)
    11. Euler-Verfahren für ein mathematisches Pendel
    12. Richtungsfeld
    13. Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 2. Ordnung
    14. Numerische Lösung für ein Fadenpendel
    15. Krümmung und Krümmungskreis
    16. Näherungsweise Berechnung der Eulerschen Zahl e

1.

Wozu Näherungsverfahren?

  • 1. Wozu Näherungsverfahren?

1.1.

Wozu Näherungsverfahren?

Frage 1
a) Wie berechnet man eigentlich [math]2\pi[/math]?[br]Wenn [math]\pi\approx3,1415926...[/math] ist und unendlich viele Nachkommastellen hat, dann kann man ja beim Multiplizieren [math]3,1415926...\cdot2[/math] gar nicht rechts beginnen.[br][br]b) Und wie soll man dann [math]\pi^2[/math] berechnen?[br][math]3,1415926...\cdot 3,1415926...[/math] kann man ja schon gar nicht berechnen.
Frage 2
Wie berechnet man den Flächeninhalts eines Rechtecks?[br]Bei einem Rechteck mit Länge 3 und Breite 2 ist alles klar, aber wie soll man [math]\pi\cdot\sqrt{2}[/math] berechnen?[br][math]\pi\cdot\sqrt{2}=3,141596...\cdot1,41421...=?[/math]
Frage 3
Für welche Gleichungen gibt es eine Lösungsformel?
Frage 4
Wie kann man eine Gleichung wie [math]cos\left(x\right)= a \cdot x[/math] mit einem Parameter [math]a \in \mathbb{R} [/math] über [math]\mathbb{R}[/math] lösen?[br]Hat diese Gleichung überhaupt eine Lösung oder existieren eventuell auch mehrere Lösungen?
– Andreas Lindner

2.

Sekundarstufe 1

  • 1. Nostalgie: Händische Berechnung der (Quadrat)Wurzel
  • 2. Rechenschieber 3
  • 3. Intervallhalbierungsverfahren für die Quadratwurzel (Tabelle)
  • 4. Intervallhalbierungsverfahren für die Quadratwurzel (Skript)
  • 5. Intervallhalbierungsverfahren für die Quadratwurzel (Skript) - einfache Version
  • 6. Intervallhalbierungsverfahren für die n-te Wurzel (Skript)
  • 7. Berechnen der Wurzel durch Intervallschachtelung
  • 8. Das Heron'sche (Babylonische) Wurzelziehen (Tabelle))
  • 9. Heron'sches (babylonisches) Wurzelziehen (Liste)
  • 10. Iteration - das Prinzip
  • 11. Das Babylonische Wurzelziehen für die Kubikwurzel
  • 12. Näherung für den Kreisumfang
  • 13. Monte Carlo - Methode für Pi
  • 14. Monte Carlo-Näherung für Pi
  • 15. Näherungsweise Berechnung von Pi (Archimedes)

2.1.

Nostalgie: Händische Berechnung der (Quadrat)Wurzel

Boxhofer, E., Huber,F., Lischka, U., Panhuber, B. (2008): mathematiX 4. Linz: Veritas.
Anleitung zum händischen Wurzelziehen
Wurzelziehen als Nebenrechnung
Beispiele zum händischen Wurzelziehen
Fünfstellige Tafeln
– Andreas Lindner

2.2.

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2.3.

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2.4.

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2.5.

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2.6.

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2.7.

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2.8.

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2.9.

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2.10.

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2.11.

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2.12.

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2.13.

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2.14.

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2.15.

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3.

Sekundarstufe 2

  • 1. Intervallhalbierungsverfahren
  • 2. Regula falsi
  • 3. Regula falsi und Newton-Verfahren
  • 4. Das Newtonsche Näherungsverfahren
  • 5. Das Newtonsche Näherungsverfahren (Skript)
  • 6. Newtonsches Näherungsverfahren für Minimum/Maximum
  • 7. Taylorpolynome
  • 8. Die Keplersche Fassregel - Teil 1
  • 9. Die Keplersche Fassregel - Teil 2
  • 10. Numerische Integration
  • 11. Die Simpson-Methode
  • 12. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts 1
  • 13. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalts 2
  • 14. Flächeninhalt eines Vielecks
  • 15. Näherungsweise Berechnung des Flächeninhalt 1
  • 16. Rotationsvolumen
  • 17. Näherungsformeln für die Zahl Pi

3.1.

Intervallhalbierungsverfahren

Die Nullstelle einer Funktion kann durch systematischen Halbieren des Intervalls [a; b] immer genauer bestimmt werden.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Erhöhe mit dem Schiebregler n die Anzahl der Halbierungsschritte.[br]Zoome bei Bedarf in die Konstruktion.
– Andreas Lindner

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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3.6.

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3.7.

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3.8.

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3.9.

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3.10.

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3.11.

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3.12.

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3.13.

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3.14.

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3.15.

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3.16.

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3.17.

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4.

Weiterführendes

  • 1. Satz von Taylor
  • 2. Beispiel 1: Konvergenzradius von Potenzreihen
  • 3. Fourier-Reihe für Rechteckschwingung
  • 4. Fourier-Analyse einer Kippschwingung
  • 5. Allgemeines Iterationsverfahren (Fixpunktverfahren)
  • 6. Fixpunktsatz
  • 7. Berechnung des schiefen Wurfs durch Schrittverfahren
  • 8. Berechnung des schiefen Wurfs durch Halbschrittverfahren
  • 9. Satellitenbahn 3D
  • 10. Satellitenbahn (Euler-Cauchy-Verfahren)
  • 11. Euler-Verfahren für ein mathematisches Pendel
  • 12. Richtungsfeld
  • 13. Numerisches Lösen von Differentialgleichungen 2. Ordnung
  • 14. Numerische Lösung für ein Fadenpendel
  • 15. Krümmung und Krümmungskreis
  • 16. Näherungsweise Berechnung der Eulerschen Zahl e

4.1.

Satz von Taylor

A. Hinrichs: Analysis für Lehramt. Vorlesungsnotizen - 2016/17. Johannes Kepler Universität Linz
Darstellung der Taylor-Entwicklung für Funktionen in 2 Variablen[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Bewege den[color=#0000ff][b] Punkt P[/b][/color].[br]Erhöhe mit dem Schieberegler den Grad n der Entwicklung und verändere die Größe der dargestellten Fläche.[br]Betrachte die Taylor-Entwicklung für andere Funktionen f, z. B. für [br]f(x,y) = sin(x) + 2, f(x,y) = 0.5*exp(x)*y etc
– Andreas Lindner

4.2.

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4.3.

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4.4.

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4.5.

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4.6.

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4.7.

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4.8.

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4.9.

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4.10.

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4.11.

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4.12.

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4.13.

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4.14.

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4.15.

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4.16.

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