[color=#980000][b][size=50][right]Leider werden auf dem ipad die scroll-Leisten nicht angezeigt[/right][/size][/b][/color][br][right][color=#ff7700][color=#000000][color=#cc4125][color=#980000][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj]Möbius-Werkzeuge circle-tools[/url] (April 2019)[/size][/color][/color][/color][/color][size=85][br][/size][/right][size=85]Im Applet oben werden die 6 [color=#0C343D][i][b]Grundpunkte[/b][/i][/color] für die 3 orthogonalen Kreise mit komplexer Vektorrechnung in CAS berechnet:[br]benötigt werden nur [color=#0000ff][i][b]komplexe Vektoren[/b][/i][/color], das [color=#0000ff][i][b]Skalarprodukt[/b][/i][/color] und das [color=#0000ff][i][b]Kreuzprodukt[/b][/i][/color] [math]\otimes[/math], die in CAS auch für komplexe Vektoren greifen, und das[color=#0000ff][i][b] Lösen von komplexen quadratischen Gleichungen[/b][/i][/color]. [br]Alle Rechnungen wurden mit [icon]/images/ggb/toolbar/mode_numeric.png[/icon] durchgeführt. [icon]/images/ggb/toolbar/mode_evaluate.png[/icon] verlangsamt extrem![br]Die vorgegebenen (komplexen) Punkte liegen paarweise harmonisch zu den Schnittpunkten der orthogonalen Kreise.[br][br][color=#ff00ff][i][b]Wie wird hier gerechnet?[/b][/i][/color][br]Vorgegeben sind 4 verschiedene Punkte [math]z_1,z_2,z_3,z_4\in\mathbb{C}[/math]. Stereographisch auf die Einheitskugel projiziert, entsprechen den 4 Punkten in der Ebene 4 Punkte auf der Kugel.[br]Mit Hilfe des auf der vorigen [color=#980000][i][b]book[/b][/i][/color]-Seite erklärten [i][b]Euklidischen Koordinatensystems[/b][/i] im Geradenraum kann man mit den [color=#0000ff][i][b]Tangenten[/b][/i][/color] der Kugelpunkte und den [color=#0000ff][i][b]Verbindungsgeraden[/b][/i][/color] rechnen![br]Die Abbildung [math]\mathbf\vec{p}(z):=\frac{z^2}{2}\cdot \mathbf\vec{p}_\infty+z\cdot\mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0,\mbox{ mit }z\in\mathbb{C}[/math] bildet die 4 Punkte der Ebene auf die Berührgeradenvektoren [math]p_1,p_2,p_3,p_4[/math] im komplexen Geradenraum ab. Man kann diese Vektoren als Tangentialvektoren an die Kugel in den zugehörigen Punkten deuten, Multiplikation mit einer komplexen Zahl [math]a\in\mathbb{C}[/math]bedeutet die Drehstreckung des Vektors um [math]a[/math].[br]Das komplexe Kreuzprodukt [math]p_1\otimes p_2[/math] berechnet einen komplexen Vektor [math]g_{12}[/math], zu dem bei geeigneter Normierung zwei Geraden gehören: die Verbingungsgerade [math]g[/math] der beiden Kugelpunkte und deren polare Gerade [math]i\cdot g[/math].[br]Das Kreuzprodukt [math]g_{1234}:=g_{12}\otimes g_{34}[/math] berechnet wieder eine Schnittgerade, wegen [math]g_{1234}\bullet g_{12}=0\mbox{ und }g_{1234}\bullet g_{34}=0[/math] trennen die Schnittpunkte von [math]g_{1234}[/math] mit der Kugel die Punktepaare [math]\left\{z_1,z_2\right\}\mbox{ und }\left\{z_3,z_4\right\}[/math] harmonisch.[br]Diese Schnittpunkte, bzw. die zugehörigen Punkte in [math]\mathbb{C}[/math] findet man als Lösungen der komplexen quadratischen Gleichung [math]g_{1234}\bullet \mathbf\vec{p}(z)=0[/math], z.B. [math]z_5,z_6[/math].[br]Da nach den Regeln des Kreuzprodukts [math]\otimes[/math] gilt: [math]g_{1234}\bullet g_{1324}=g_{1234}\bullet g_{1423}=g_{1324}\bullet g_{1423}=0[/math], sind die 6 Punkte [math]z_5,z_6,z_7,z_8,z_9,z_{10}[/math] Schnittpunkte von 3 paarweise orthogonalen Kreisen. [br][br]Leider ist die "Definition" [math]p\left(z\right):=\frac{z^2}{2}\cdot p_{\infty}+z\cdot g_0+p_0[/math] im [color=#980000][i][b]ge[/b][/i][/color][icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon][color=#980000][i][b]gebra[/b][/i][/color]-CAS als komplexwertige Vektorfunktion [/size][size=85][size=85] [color=#741B47][i][b]nicht [/b][/i][/color][/size]verwendbar.[br][br][/size]