Eigenschaften elementarer gebrochen-rationaler Funktionen
[color=#6aa84f]Lernziele:[br][br][/color][math]\rightarrow[/math][color=#6aa84f] Graphen gebrochen-rationaler Funktionen erkennen und mit Fachbegriffen beschreiben[br][/color][math]\rightarrow[/math][color=#6aa84f] die Definitionsmenge gebrochen-rationaler Funktionen angeben[/color]
[br][br][b]Was ist eine gebrochen-rationale Funktion?[/b][br][br]Du kennst schon die [b]rationalen [/b]Zahlen [math]\mathbb{Q}[/math]. Diese enthalten alle [b]Zahlen, die als Bruch geschrieben werden[br]können[/b], also alle positiven und negativen ganzen Zahlen[math][/math][math]\mathbb{Z}[/math] und alle positiven und negativen Brüche. [br][br]Das „gebrochen-rational" bezieht sich also auf einen [b]Bruch im Funktionsterm[/b]. Doch dieser Bruch muss eine besondere Eigenschaft haben, damit man die Funktion „gebrochen-rational“ nennt.[br][br][br][b][i]Einstiegsaufgabe: [/i][/b][br][br][i]Nimm die Funktionsgleichungen unten in beliebiger Reihenfolge „unter die Lupe“ (d.h. ziehe sie auf die Lupe) und finde heraus, ob sie gebrochen-rational sind oder nicht, indem du noch einmal auf die Funktionsgleichung in der Lupe klickst. [/i][br][br][i]Findest du heraus, was die gebrochen-rationalen Funktionsterme im Gegensatz zu den anderen Funktionstypen gemeinsam haben? [/i][br]
Funktionen unter der Lupe
Vermutung:
[br][br]Nun fertigen wir einen [color=#0b5394][b]Hefteintrag[/b] [/color]an. Schreibe alles ab, was [color=#0b5394][b]blau [/b][/color]ist. [br][b][i]Fülle die Lücken[/i][/b] mit deinen Erkenntnissen und Beispielen aus der [b]Einstiegsaufgabe[/b].[br][br][br][color=#0b5394][b][u]III. Elementare gebrochen-rationale Funktionen[/u][/b][br][br][u]III.1 Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen[/u][br][br][br][b]Definition[/b]: Hat der Term einer Funktion eine Variable ________________________________, so nennt man die Funktion [u]gebrochen-rational[/u]. Einen solchen Term nennt man [u]Bruchterm[/u]. [br][br]z.B.: _____________________________________________________________________ ([b][i]Hinweis[/i][/b][i]: Übernimm hier einfach 2-3 gebrochen-rationale Funktionen aus der Einstiegsaufgabe als Beispiele[/i])[br][br]Zahlen, für die der Nenner Null wird, gehören nicht zur Definitionsmenge, weil der Funktionsterm an dieser Stelle nicht definiert ist und ihnen kein Wert zugeordnet werden kann. Man nennt sie [u]Definitionslücken[/u]. [/color]
[b]Lösung: [br][/b]Klicke einfach auf "Antworten überprüfen"
[b][i]Aufgabe:[/i][/b] S. 61/4[br][br][i]Bestimme die Definitionslücken der folgenden Funktionsgleichungen in deinem Übungsheft und gib die maximale Definitionsmenge [math]D_{max}[/math][/i][i] an. Überprüfe deine Ergebnisse anschließend hier, indem du sie in die Felder eingibst. [/i][br][br]z.B. [math]f\left(x\right)=\frac{2}{3x+9}[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]3x+9=0[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]3x=-9[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]x=-3[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]D_{max}=\mathbb{Q}[/math] \ {-3}
a) [math]f\left(x\right)=\frac{3}{x+6}[/math] [math]\Rightarrow[/math] Definitionslücke bei x =
b) [math]g\left(x\right)=\frac{3}{x-4}[/math] [math]\Rightarrow[/math] Definitionslücke bei x =
c) [math]h\left(x\right)=\frac{5}{x+2,5}+1[/math] [math]\Rightarrow[/math] Definitionslücke bei x =
d) [math]f\left(x\right)=\frac{3}{2x-10}[/math] => Definitionslücke bei x =
e) [math]g\left(x\right)=\frac{3}{6-x}+2[/math] [math]\Rightarrow[/math] Defnitionslücke bei x =
f) [math]f\left(x\right)=\frac{4}{x+5}-\frac{3}{2}[/math] [math]\Rightarrow[/math] Definitionslücke bei x =
g) [math]h\left(x\right)=-\frac{2}{3x-9}[/math] [math]\Rightarrow[/math] Defnitionslücke bei x =
h) [math]g\left(x\right)=\frac{0,5}{x-7}[/math] [math]\Rightarrow[/math] Definitionslücke bei x =
i) [math]h\left(x\right)=\frac{1}{8x}-\frac{2}{3}[/math] [math]\Rightarrow[/math] Defnitionslücke bei x =
[b]Graphen gebrochen-rationaler Funktionen[/b][br][br]Du hast schon Graphen gebrochen-rationaler Funktionen gesehen. Klaus dagegen anscheinend nicht. Er[br]hat die Funktionsvorschrift [math]f:x\mapsto\frac{1}{x-0,5}+2[/math] gegeben und dazu eine Wertetabelle erstellt:
Mithilfe derer zeichnet er folgenden Graphen:
[b][i]Aufgabe[/i][/b]: [br][i]a) [/i][i]Sieh dir den Funktionsterm noch einmal an und bestimme die Definitionslücke. Dieser[br]Lücke wird [u]kein[/u] Funktionswert [math]f\left(x\right)=y[/math][/i][i] zugeordnet![br][/i][br][br][b]Definitionslücke[/b]: x =
[i]Taucht sie in Klaus‘ Wertetabelle auf?[/i][br][br][br][i]a) [/i][i]Plotte nun selbst die Funktion und beschreibe kurz in deinem Übungsheft den Verlauf der Funktion links und rechts von der Definitionslücke. Nutze dazu die Zoom-Funktion des Plotters. [br]Benenne den Fehler, den Klaus gemacht hat. [br][/i][b]Hinweis: "," ist in Geogebra ein "."[/b]
[b]Hinweis: [/b][br]Klicke "Antworten überprüfen", um einen Hinweis zu erhalten. [br][br][br]