Όριο Στο x_0 (Πεπερασμένο)
Όριο στο x_0
Inhaltsverzeichnis
- Ορισμός
- Ορισμός Ορίου στο x_0
- Παραδείγματα
- Παραδείγματα Απλών ορίων στο x_0
- Περίεργα Όρια Στο x_0
Ορισμός Ορίου στο x_0
Δραστηριότητα 1
[b]Το όριο της συνάρτησης[br][/b][br] [math]f\left(x\right)=\frac{ημ\left(x\right)}{x}[/math][br][size=150][br]Είναι προφανές ότι η συνάρτηση αυτή δεν ορίζεται στο 0. Τι τιμές όμως παίρνει κοντά στο 0; Αυτό μπορούμε να το παρατηρήσουμε μέσω του παρακάτω τριγωνομετρικού κύκλου.[br][br][/size]Στον τριγωνομετρικό κύκλο η τιμή της συνάρτησης είναι ίση με το πηλίκο του κόκκινου [color=#ff0000][b]ευθ. τμήματος ΟΓ[/b][/color] προς το πράσινο [b][color=#38761d]καμπυλόγραμμο τμήμα ΑΒ[/color][/b].[br]Μετακινείστε το σημείο Β ώστε να πλησιάσει το Α και δείτε τις τιμές της συνάρτησης κοντά στο 0.
[size=150]Παρακάτω μπορούμε να δούμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x).[br][/size]Παρόμοια συμπεράσματα μπορούμε να βγάλουμε και από την γραφική παράσταση.
Στο παρακάτω διαδραστικό σχήμα μπορούμε να δούμε τις τιμές της συνάρτησης f(x) καθώς το x παίρνει τιμές που πλησιάζουν το 0 από αριστερά και από δεξιά.
Μια συνάρτηση f(x) θα λέμε ότι έχει όριο τον αριθμό [math]\ell[/math] καθώς η μεταβλητή x τείνει στον αριθμό [math]x_0[/math] όταν κάθε περιοχή γύρω από το [math]x_0[/math] απεικονίζεται μέσω της f σε μια περιοχή του [math]\ell[/math]. Σε αυτή την περίπτωση γράφουμε:[br][br][math]lim_{x\longrightarrow x_0}=\ell[/math][br][br]Δείτε το παρακάτω σχήμα ως παράδειγμα. [br]Κάθε [b][color=#ff0000]κόκκινη περιοχή[/color][/b] γύρω από το [math]x_0[/math] (με ακτίνα δ - μπορείτε να την αλλάξετε στον δρομέα) απεικονίζεται σε μια [b][color=#0000ff]μπλε περιοχή[/color][/b] που πάντα περιέχει το [math]\ell[/math] (σε μια περιοχή του [math]\ell[/math])
Παραδείγματα Απλών ορίων στο x_0
Παράδειγμα 1
[size=150]Στο παρακάτω παράδειγμα καθώς η μεταβλητή x τείνει στο 1, η συνάρτηση έχει όριο τον αριθμό 1.[br]Παρατηρείστε ότι τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα.[/size]
Παράδειγμα 2
Στο παρακάτω παράδειγμα καθώς η μεταβλητή x τείνει στο 1, η συνάρτηση έχει όριο τον αριθμό 1.[br]Παρατηρείστε ότι τα δύο πλευρικά όρια είναι ίσα.[br][b]Παρατηρείστε επίσης ότι η τιμή της συνάρτησης στο x_0=1 είναι 2 και όχι 1![br][br]Η τιμή του ορίου [color=#ff0000]δεν εξαρτάται[/color] από την [color=#ff0000]τιμή [/color]της συνάρτησης στο x_0, αλλά μόνο από τις τιμές της συνάρτησης[color=#ff0000] γύρω από το x_0[/color].[/b]
Παράδειγμα 3
Στο παρακάτω παράδειγμα καθώς η μεταβλητή x τείνει στο 1, η συνάρτηση δεν έχει όριο.[br]Παρατηρείστε ότι τα δύο πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι διαφορετικά.[br][b][br]Για να υπάρχει το όριο μιας συνάρτησης, θα πρέπει τα δύο πλευρικά όρια να είναι ίσα.[br][br][/b]
Παράδειγμα 4
Στο παρακάτω παράδειγμα καθώς η μεταβλητή x τείνει στο 1, η συνάρτηση δεν έχει όριο.[br]Παρατηρείστε ότι τα δύο πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι διαφορετικά. Επίσης κανένα από τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο 1.