Polinômios

Funções polinomiais aplicadas a números complexos.
[size=150]A construção abaixo apresenta a imagem, em rosa, de uma função polinomial de coeficientes todos iguais a 1, aplicada a uma circunferência de centro 0 e raio r, tendo isso em vista explore o gráfico através dos controles deslizantes e da ferramenta de zoom e responda s questões abaixo.[/size]
Observações sobre a construção
[size=150]Note aqui que o controle deslizante t diz respeito a os pontos da circunferência de centro (0,0) e raio a ser ajustado por r ou seja, os pontos do domínio da função. Observe que também que a nos diz qual o grau do polinômio representado, logo se [math]a=3[/math] então estamos falando do polinômio [/size][math]x^3+x^2+x+1[/math]
Por que quando a=0 o ponto vermelho permanece no ponto (1,0) independente do z1?
[size=200][size=150]Quantas vezes a trajetória do ponto vermelho que representa a imagem descreve um ''nó'',ou seja, realiza uma volta completa em torno de si mesmo como uma montanha russa, quando se pausa o controle deslizante a em 3? e em 4? é possível estabelecer alguma relação que diga quantas vezes o ponto faz esses nós baseado no grau do polinômio? [/size][/size]
[size=150]O que acontece quando aumentamos o raio da circunferência? por que isto acontece?[/size]
Para refletir
você consegue imaginar o que aconteceria com o gráfico ao colocar coeficientes maiores que 1 na função?
[size=150]Observe que agora os polinômios são do tipo [math]ax^a+ax^{a-1}+...+ax^{a-a}[/math], ou seja, ainda todos coeficientes iguais.[/size]
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