Elementi di analisi
Le caratteristiche principali che bisogna conoscere di una funzione per poterne stimare l'andamento sul piano cartesiano.
Table of Contents
- Caratteristiche generali delle funzioni
- Relazioni e funzioni: caratteristiche di base
- A cosa servono le funzioni?
- La funzione inversa
- Funzioni invertibili e non invertibili
- Funzioni pari e funzioni dispari; simmetrie
- Caratteristiche delle funzioni [1] - retta e parabola
- Caratteristiche delle funzioni [2] - esponenziali e logaritmi
- Caratteristiche delle funzioni [3] - goniometriche
- Esempi particolari di funzioni
- La risoluzione grafica di equazioni e disequazioni
- Lo studio dei limiti
- Il concetto di limite - approssimazioni successive
- Visualizzatore di limiti - approssimazioni successive
- Limiti - un approccio più teorico
- La verifica formale dei limiti
- Verifiche formali di limiti e teoremi
- Visualizzatore di limiti - intorni
- Le funzioni continue
- Teoremi sulle funzioni continue
- Gli asintoti obliqui
- Le derivate
- Visualizzare e studiare la velocità di un fenomeno
- La derivata come velocità istantanea
- Calcolare la derivata
- La funzione derivata
- Rapporto incrementale e derivata
- L'andamento della funzione e ricerca degli estremi
- Funzioni composte e loro derivate
- Derivate fondamentali e regole di derivazione
- Funzioni inverse e loro derivate
- I punti di non derivabilità
- Teoremi sulle funzioni derivabili
- Derivata seconda e concavità
- Esercizi sulla visualizzazione della derivata
- Problemi di ottimizzazione
- Applicazioni: meccanica
- Gli integrali
- Gli integrali indefiniti
- Un esempio di funzione e sua primitiva
- Integrazione per sostituzione
- Visualizzazione delle primitive
- Gli integrali definiti: concetto e definizione
- La Funzione Integrale: definizione e proprietà
- Svelare il segreto dell'integrale definito: i teoremi
- Applicazioni: il valore medio di una funzione
- Costruire l'integrale giusto
- Applicazioni: il volume dei solidi di rotazione
- Piramide con base un triangolo isoscele (con animazione)
Relazioni e funzioni: caratteristiche di base
[size=150][color=#ff0000][size=200]RELAZIONI E FUNZIONI[/size][br][/color][/size]Definiamo una [color=#ff0000][b]relazione[/b][/color] tra due insiemi un qualsiasi legame tra di essi che associa ad un elemento del primo insieme uno o più elementi del secondo. Per dare un nome ad una relazione si utilizza una lettera minuscola. Facciamo un esempio.[br][br]Dati l'insieme delle lettere e quello delle parole, la relazione [b][i]p[/i][/b]: "[math]\large{x \rightarrow\ una\ parola\ che\ inizia\ con\ x}[/math]", permette di associare ad una lettera [math]x[/math] (ad esempio "c") la parola "casa", "cattedra" o altre; alla lettera "s" verranno associate parole come "stella", "studente" e così via. Se chiamiamo [math]y[/math] il risultato della relazione, cioè l'elemento associato ad [math]x[/math], possiamo descrivere la relazione scrivendo [b][i]p[/i][/b] : "[math]\large{y\ inizia\ con\ x}[/math]".
Si chiama [color=#ff0000][b]funzione[/b][/color] una relazione che ad ogni elemento del primo insieme associa [b]un solo elemento del secondo insieme[/b] (quindi se ha [b]un solo risultato[/b]). L'esempio visto sopra è una relazione ma [b]non[/b] è una funzione, perché data una lettera esistono ovviamente più parole che iniziano con quella lettera. Se invece consideriamo la relazione [b][i]i[/i][/b]:"[math]\large{y\ è\ l'iniziale\ di\ x}[/math]", mostrata qui sotto, abbiamo che ogni lettera ha una sola iniziale. La relazione [b][i]i[/i][/b] quindi è anche una funzione.
Una funzione può anche essere considerata una "relazione univoca", in quanto ad ogni elemento del primo insieme viene assegnato in modo univoco (cioè unico) l'elemento del secondo insieme. Avere una funzione, ovvero definire in maniera univoca il risultato, è particolarmente importante per le relazioni [i]matematiche[/i], dato che in genere è necessario che ogni operazione porti ad un solo risultato univocamente definito, cioè che sia lo stesso per chiunque stia applicando quell'operazione. [br][br][size=150][color=#ff0000][size=200]LE VARIABILI DI UNA FUNZIONE[/size][/color][/size][br][color=#ff0000]La [/color][math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math], cioè l'elemento preso nel primo insieme, viene chiamata [color=#ff0000][b]variabile indipendente[/b][/color], perchè è un elemento che [color=#ff0000]varia[/color] (nell'esempio posso considerare varie parole) e può essere scelto [color=#ff0000]liberamente[/color] da chi utilizza la funzione; può anche essere considerato l'[color=#ff0000][b]input[/b][/color] che la funzione riceve ed a cui essa associa un [color=#0000ff][b]output[/b][/color], o [color=#0000ff][b]risultato[/b][/color], cioè la [math]\large{\textcolor{blue}{y}}[/math], il cui nome formale è [b][color=#0000ff]variabile dipendente[/color][/b] perché [color=#0000ff]dipende[/color] appunto dalla [math]x[/math] che abbiamo scelto in partenza: una volta scelta liberamente la [math]x[/math], la [math]y[/math] viene stabilita univocamente dalla funzione, e noi non abbiamo scelta in proposito. [br][br]Nell'esempio riportato sopra si può dire che [color=#0000ff]"s"[/color] è [color=#0000ff]l'output[/color] prodotto dall'[color=#ff0000]input "stella"[/color] secondo la funzione [b]i[/b]. [br][br]La [math]\large{\textcolor{blue}{y}}[/math] che viene trovata come risultato di una certa [math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math] secondo una data funzione viene anche chiamata [b][color=#0000ff]immagine[/color][/b] della [math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math] di partenza, che per contro può essere definita come [color=#ff0000][b]controimmagine[/b][/color] della [math]\large{\textcolor{blue}{y}}[/math] corrispondente. [br][br]Ad esempio [color=#0000ff]"m"[/color] è [color=#0000ff]l'immagine[/color] di [color=#ff0000]"micio"[/color] e di [color=#ff0000]"monte"[/color], che sono quindi sue [color=#ff0000]controimmagini[/color]; [color=#ff0000]"casa"[/color] è la [color=#ff0000]controimmagine[/color] dell'[color=#0000ff]output "c"[/color].[br][br]Le varie notazioni possibili per indicare le variabili di una funzione possono essere riassunte quindi nella seguente tabella:[br][br] [table] [tr][br] [td]x[/td][br] [td]y[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]variabile indipendente[/td][br] [td]variabile dipendente[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]input[/td][br] [td]output (risultato)[/td][br][/tr][br] [tr][br] [td]controimmagine[/td][br] [td]immagine[/td][br][/tr][br][/table][br]L'insieme dei valori nell'insieme di partenza per cui la funzione genera un risultato è detto [b]dominio[/b] (in Inglese: [i]domain[/i]) della funzione. L'insieme dei valori nell'insieme di destinazione che sono un risultato di qualche input (cioè che sono controimmagine di almeno una [math]\large{x}[/math] è detto codominio (in Inglese: [b]range[/b]).[br][br][size=150][color=#ff0000][size=200]FUNZIONI MATEMATICHE[/size][/color][/size][br][br]Abbiamo detto che avere una funzione, ovvero definire in maniera univoca il risultato, è particolarmente importante per le relazioni [i]matematiche[/i], cioè tra relazioni che prendono dei numeri come input ed output. Vediamo quindi qualche esempio di relazione matematica. [br]La relazione [b]f: [/b]"[math]\large{y\ è\ il\ doppio\ di\ x}[/math]" associa ad esempio al numero 3 il numero 6, a 7 associa 14 e così via. Un altro modo per descrivere questa relazione, particolarmente chiaro nel caso delle relazioni matematiche, è [math]\large{f:\ y=2x}[/math], che indica direttamente [b]l'espressione[/b] (o la [b]formula[/b], anche se stranamente questa parola non viene usato in questo ambito) che permette di calcolare il risultato [math]\large{y}[/math] partendo dall'input [math]\large{x}[/math].
Per esprimere la relazione tra un certo valore e la corrispondente immagine (cioè il risultato) fornito dalla funzione si scrive che[br] [br][math]\large{f(3)=6}[/math] [br][br]Che si legge : "f di 3 è uguale a 6", che probabilmente è il modo veloce per dire "il risultato secondo la legge [b][color=#ff0000]f d[/color][/b]ell'input [b][color=#ff0000]3 è uguale a 6[/color][/b]" - cioè quando Il [math]\large{3}[/math] viene messo "dentro" la funzione [math]\large{f}[/math] (cioè sostituito alla [math]\large{x}[/math]) e genera come risultato [math]\large{6}[/math]. Allo stesso modo possiamo scrivere [math]\large{f(15)=30}[/math]. Possiamo usare questa notazione per indicare relazioni più articolate, come [br][list][*][math]\large{f(7) \lt T}[/math] - "il risultato che si ottiene dall'input [math]\large{7}[/math] è minore di un certo numero [math]\large{T}[/math]"[/*][br][*][math]\large{f(3)=f(w)}[/math] - "il risultato dato dall'input [math]\large{3}[/math] è uguale quello ottenuto da un certo numero [math]\large{w}[/math]"[/*][/list] [br][color=#ff0000][b]IMPORTANTE[/b][/color]: È molto importante ricordare che le parentesi [b][color=#ff0000]non[/color][/b] indicano qui una moltiplicazione, ma semplicemente che [math]\large{y}[/math] si ottiene "inserendo" un valore [math]\large{x}[/math] nella funzione [math]\large{f}[/math], che restituisce appunto il risultato.[br][color=#0000ff][size=200][size=150]UNA NOTA "DI STILE"[/size][/size][/color][br][br]A differenza dei primi due esempi, che collegavano due insiemi diversi (quello delle lettere e quello delle parole), la funzione [i][b]f[/b][/i] parte e termina nello stesso insieme (quello dei numeri, ad esempio gli interi o i razionali). Si possono specificare l'insieme da cui la funzione prende i suoi input e quello in cui prende i suoi output con la notazione [math]\large{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}[/math] (ad esempio in questo caso affermiamo che la variabile indipendente (input) e quella dipendente (output) della funzione sono entrambe prese dall'insieme dei numeri reali. Nel diagramma di Venn le frecce dovrebbero quindi partire da un elemento di un insieme e terminare in un altro elemento [i]dello stesso insieme[/i], dato che sempre di numeri reali si tratta. Questa rappresentazione è più corretta anche perché i numeri che sono il doppio di qualche numero, hanno a loro volta un doppio, quindi non è possibile suddividere i numeri tra quelli che stanno in un insieme di partenza (le "metà") e quelli in un insieme di arrivo (i "doppi").[br][br][br]
Poiché questa rappresentazione è più corretta, ma rischia di essere meno chiara, ci riserveremo la licenza di utilizzare una rappresentazione a due insiemi, ove questo aiuti nella comprensione.[br][br][color=#ff0000][size=150][size=200]FUNZIONI BIUNIVOCHE[/size][/size][/color][br]La relazione [math]\large{f:y=2x}[/math]vista nell'esempio precedente è chiaramente una funzione, in quanto per ogni numero [math]\large{x}[/math] esiste una sola immagine [math]\large{y}[/math] corrispondente al suo doppio. Poiché vale anche il contrario, cioè ogni output [math]\large{y}[/math] ha una sola controimmagine [math]\large{x}[/math] corrispondente (detto in altri termini: ogni [math]\large{y}[/math] ha una sola [math]\large{x}[/math] che è la sua metà), la funzione si definisce [color=#ff0000][b]biunivoca[/b][/color]. La biunivocità è molto importante perché [b][color=#ff0000]una funzione può essere invertita solo se è biunivoca[/color] [/b](affronteremo il concetto di funzione inversa nei prossimi capitoli).[br][br]Un altro modo per dire che una funzione è biunivoca è che non ci sono due input che generano output uguale. La relazione [b][i]i[/i][/b] delle iniziali vista prima è una funzione (perché ad ogni parola corrisponde una sola iniziale), ma [b]non[/b] è una funzione biunivoca, perché non vale il viceversa (ad ogni iniziale corrispondono più parole).[br][br][color=#0000ff][b]NOTA LESSICALE[/b][/color]: In termini rigorosi quando una funzione genera per ogni input un output differente non si dice biunivoca ma [b][color=#0000ff]iniettiva[/color][/b]. [br]Si definisce poi [b][color=#0000ff]suriettiva[/color][/b] una funzione per cui [u]ogni[/u] elemento dell'insieme di destinazione è il risultato di qualche input (detto in altri termini più specifici: se ogni elemento dell'insieme di destinazione è controimmagine di un elemento dell'insieme di partenza, cioè se l'insieme di destinazione coincide con il codominio). [br][br][color=#0000ff][b]Utilizzando questa terminologia più avanzata, una funzione si dice biiettiva[/b], o [b]biunivoca[/b], quando è [b]sia iniettiva che suriettiva[/b][/color].[br]
La relazione nella figura è una [b]funzione[/b], perché ad ogni studente della classe 3A corrisponde una unica città di nascita. Però [b]non è iniettiva[/b] (ci sono più studenti che danno come "risultato" la stessa città di nascita) e [b]neppure suriettiva[/b] (esistono città dove non è nato nessuno di 3A). Quindi la funzione [b]non è biunivoca[/b].
Vediamo qui sotto alcuni esempi con una funzione matematica.
La relazione matematica nella figura è una [b]funzione[/b], perché ogni numero ha un solo risultato se lo si eleva alla quarta. Però [b]non è iniettiva[/b] (un numero ed il suo opposto danno lo stesso risultato) e [b]neppure suriettiva[/b] (i numeri negativi non sono la quarta potenza di nessun numero). Quindi la funzione [b]non è biunivoca[/b].
La [b]suriettività[/b] non è una condizione molto vincolante, perché se manca la si può ottenere lasciando invariata la legge della funzione e [b]cambiando solo l'insieme di destinazione[/b].[br][br]Nel nostro esempio se cambiamo l'insieme di destinazione della funzione [math]\large{g}[/math] da [math]\large{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}[/math] a [math]\large{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^+_0}}[/math], cioè prendiamo i risultati solo nell'insieme dei numeri positivi o nulli, tutti gli elementi dell'insieme di destinazione hanno una controimmagine nell'insieme di destinazione e la funzione è suriettiva.
Se modifichiamo la funzione [math]\large{g}[/math], ed in particolare ridefiniamo il suo insieme di destinazione come i soli numeri reali positivi, cioè [math]\large{\mathbf{R_0^+}}[/math], la rendiamo [b]suriettiva[/b], perché [color=#ff0000]ogni elemento dell'insieme di destinazione[/color] è risultato di [almeno] [color=#3c78d8]un elemento dell'insieme di partenza[/color]. [br][br]Continua però a [b]non [/b]essere [b]iniettiva[/b], quindi in definitiva [b]non è biunivoca[/b].
Per questo motivo possiamo dire che la condizione più importante per la biunivocità resta la prima, cioè l'iniettività, e quindi possiamo "confonderla" con essa e dire che se ogni input genera un risultato diverso (ogni risultato è risultato di un input differente) la funzione è biunivoca.
In modo simile possiamo rendere [b]suriettiva[/b] la prima funzione che abbiamo visto considerando come insieme di destinazione quello composto dalle sole città dell'Italia continentale ed escludendo le isole.
Dato che la mancata suriettività può essere risolta in modo piuttosto semplice che non cambia la natura della funzione, possiamo dire che l[b]a condizione più importante per la biunivocità resta l'iniettività (cioè che due valori di input differenti non possano dare lo stesso risultato), e quindi possiamo "confonderla" con essa[/b] e dire che se ogni input genera un risultato diverso la funzione è biunivoca.
Il concetto di limite - approssimazioni successive
Come già sappiamo, esistono dei punti in cui la funzione non può essere valutata: quelli che non appartengono al suo dominio. Un'informazione molto utile per poter tracciare una buona stima del grafico della funzione si ottiene indagando come si comporta la funzione [i]vicino[/i] ai confini del dominio, cioè quando si avvicina ai punti in cui non esiste. [br][br]Ad esempio sappiamo che la funzione [math]y=\sqrt{3-x}[/math] esiste solo per [math]x\le 3[/math], di conseguenza potremo calcolare la funzione solo fino a 3. Lo strumento del [b]limite di funzione[/b] ci permette di capire che andamento ha la funzione man mano che si avvicina alla zona "vietata" in cui non può essere valutata.[br][br]Nella prima animazione vediamo un esempio delle informazioni che si possono ottenere da questo tipo di indagine, senza entrare per il momento nel merito del [i]come[/i] si calcolano, per capire innanzitutto l'obiettivo e l'utilità di questo strumento.
[size=150][color=#ff0000]LIMITE COME STIMA PER APPROSSIMAZIONI SUCCESSIVE[br][/color][/size]Il modo più intuitivo per capire il concetto di limite è forse il seguente. Le funzioni hanno in genere dei valori che non rispettano le C.E. delle proprie espressioni, e per i quali quindi non è possibile ottenere dei risultati: questi valori non fanno parte del dominio della funzione. Il limite si chiede allora come si comporta la funzione per valori "vicini" a questi valori vietati, ovvero che andamento ha la funzione mano a mano che si avvicina al "bordo" del suo dominio. [br][br]In realtà si può calcolare il limite "vicino" a qualsiasi valore della [math]\large{x}[/math], anche uno che appartiene al dominio, ma effettivamente i valori "vietati" sono quelli per cui il risultato del limite è più interessante. Questo ci aiuta a ricordare che [color=#ff0000]il limite si occupa del comportamento VICINO al valore [math]\large{x}[/math] considerato (cioè simile ad esso), ma NON del risultato generato dalla funzione nel valore stesso, di cui il limite non sa niente e non si occupa[/color].[br][br]Un primo modo intuitivo per vedere i primi limiti è pensare di darne una stima per approssimazioni successive. Ad esempio sappiamo che la funzione [math]\large{\frac{1}{x}}[/math] non esiste quando [math]\large{x=0}[/math], ma [b][color=#ff0000]possiamo vedere come si comporta [i]vicino[/i] a questo valore calcolandone il risultato per valori sempre più simili ad esso, ad esempio per [/color][/b][math]\large{x=-0,10}[/math][b][color=#ff0000], poi per [/color][/b][math]\large{x=-0,09}[/math][b][color=#ff0000], poi [/color][/b][math]\large{x=-0,08}[/math][b][color=#ff0000] così via, osservando come cambia di conseguenza il risultato della funzione. Mettendo questi risultati su un grafico, abbiamo una rappresentazione visuale immediata del comportamento della funzione[/color][/b]. [br][br]Facciamo una prova. Invece di fare tutti i calcoli a mano, però, facciamoci aiutare da Geogebra in modo da far lavorare lui al posto nostro. [br][br][color=#ff0000][b]ATTENZIONE:[/b] se vuoi utilizzare in modo agevole lo strumento proposto in questo percorso, è [u]necessario[/u] farlo tramite [u]un PC[/u][br][/color][br]Innazitutto guarda questo video che ti spiega come generare una tabella di valori ed ottenerne il grafico su Geogebra (uhm, it is in English, but this is [i]not[/i] a problem for you, is it?)
Tutto chiaro? Allora è giunto il nostro momento! Useremo la applet qui sotto per fare i nostri primi esperimenti, ma una volta che hai capito puoi tenerti il tuo ambiente a portata di mano sul PC/tablet/smartphone![br][br][size=150][color=#ff0000]IL NOSTRO PRIMO STUDIO DI LIMITE[/color][/size][br][b][color=#0000ff]Vogliamo studiare come si comporta la funzione [/color][math]\large{y=\frac{x}{x-x^2}}[/math][color=#0000ff] [i]vicino[/i] ai suoi valori vietati.[/color][/b][br][br]Svolgendo le C.E. troverai facilmente che esse danno [math]\large{x \neq 0 \land x \neq 1}[/math]; per iniziare consideriamo il valore [math]\large{x=0}[/math]. Partiremo da [math]\large{x=-0.10}[/math] e ci avvicineremo di un centesimo alla volta ([math]\large{x=-0.09}[/math], [math]\large{x=-0.08}[/math]...) continueremo fino a [math]\large{0}[/math] (vedremo cosa succede) e proseguiremo, sempre aggiungendo [math]\large{0,01}[/math], fino a [math]\large{x=0,10}[/math]. In questo modo vedremo il comportamento allo [math]\large{0}[/math] da entrambi i lati. [br][br]Scriviamo nella prima cella dei valori [math]\large{x}[/math], la [b][color=#0000ff]A2[/color][/b] il primo valore che vogliamo considerare digitando [b][color=#0000ff]-0,10[/color][/b].Prima do proseguire è importante ricordare altri due trucchi essenziali dei fogli di calcolo per far lavorare il programma al posto nostro. [br][color=#ff0000][b][br]1) INSERIRE LE FORMULE:[/b][/color] [color=#ff0000]spiega al foglio di calcolo come è fatta la formula che permette di ottenere il risultato[/color]. Dato che l'espressione della nostra funzione è [math]\large{\frac{x}{x-x^2}}[/math], nella prima cella utile della colonna delle [math]\large{y}[/math], la cella [b][color=#ff7700]B2[/color][/b], dobbiamo scrivere questa espressione,[br] [br][list][*]mettendo ogni volta [b][color=#ff7700]A2[/color][/b] al posto della [math]\large{x}[/math] (è in quella cella che si trova!),[/*][*]ricordando che il simbolo di potenza è [b][color=#ff7700]^[/color][/b] [/*][*]facendo attenzione alle parentesi. [/*][/list][br]L'espressione corretta è quindi [b][color=#ff7700]=A2/(A2-A2^2)[br][br][/color][/b][b][color=#ff0000]2) TRASCINARE LE CELLE:[/color][/b] [color=#ff0000]spiega a al foglio di calcolo che la regola per ottenere i risultati è sempre la stessa[/color]. Le [math]\large{x}[/math] dovranno aumentare di [math]\large{0,01}[/math] alla volta; per spiegarlo al foglio di calcolo facciamogli vedere un esempio scrivendo nella cella successiva delle [math]\large{x}[/math], la [b][color=#0000ff]A3[/color][/b], il valore successivo che si ottiene secondo questa logica, cioè [color=#0000ff][b]-0,09[/b][/color]. A questo punto selezioniamo le due celle con i valori (clicca nel [b]centro [/b]di una delle due celle e trascina finché non hai selezionato entrambe) afferriamo la [i][b]maniglia [/b][/i]cliccando sul quadratino in basso a destra e trasciniamo in basso per un numero sufficiente di celle.
Abbiamo inserito i due valori di esempio e li abbiamo selezionato. Cliccando sul quadratino blu in basso a destra e trascinando verso il basso tutte le celle che coinvolgeremo saranno riempite seguendo questa regola.
Non è finita qui. Dopo aver inserito nella prima cella dei punti, la [b][color=#38761d]C2[/color][/b], le istruzioni su come costruire il primo punto, selezioniamo le celle [b][color=#ff7700]B2[/color][/b] e [b][color=#38761d]C2[/color][/b] e trasciniamole verso il basso: dentro ognuna di esse ci sono le istruzioni per compilarle, e trascinandole verso il basso tali istruzioni verranno adattate per costruire tutti gli altri elementi della tabella.
Nelle celle [color=#ff7700][b]B2[/b][/color] e [b][color=#38761d]C2[/color][/b] abbiamo inserito le formule per ottenere rispettivamente la [math]\large{y}[/math] ed il punto; dato che nella colonna [b][color=#0000ff]A[/color][/b] tutte le [math]\large{x}[/math] sono pronte, possiamo trascinare il solito quadratino blu e compilare tutta la tabella.
COMPILA LA TABELLA SEGUENDO LE ISTRUZIONI ED OSSERVA IL COMPORTAMENTO CHE SI DELINEA SUL GRAFICO
[color=#ff0000][size=150]ANALIZZIAMO L'ANDAMENTO CHE SI VEDE NELLA TABELLA E SUL GRAFICO[br][/size][/color]Partendo da [math]\large{x=-0,10}[/math] ed aumentando otteniamo risultati sempre più vicini a 1. Puoi vederlo cliccando sulla cella [b][color=#ff7700]C2[/color][/b]: il corrispondente punto sul grafico verrà evidenziato, e se scendi lungo la tabella passando alla cella [color=#ff7700][b]C3[/b][/color] e così via vedrai sul grafico il comportamento corrispondente. [br][br]Questo risultato si riassume dicendo che [color=#0000ff]tanto più le [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] assumono valori [i]vicini[/i] a [math]\large{\textcolor{blue}{0}}[/math][/color], [color=#ff0000]quanto più le [math]\large{\textcolor{red}{y}}[/math] danno risultati [i]vicini[/i] a [math]\large{\textcolor{red}{1}}[/math][/color]. Questo "assumere valori [i]vicini[/i]" e "dare risultati [i]vicini[/i]" si esprime con il termine matematico [i]tendere[/i] ([i]approaching[/i], in Inglese). Quindi diremo che [color=#0000ff]quando [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] tende a[/color] [math]\large{\textcolor{blue}{0}}[/math], [color=#ff0000]la corrispondente [math]\large{\textcolor{red}{y}}[/math] tende ad [math]\large{\textcolor{red}{1}}[/math][/color].[br][br]Il simbolo del "tendere" è una freccia, quindi possiamo simbolicamente dire che quando [math]\large{\textcolor{blue}{x \to 0}}[/math] abbiamo che [math]\large{\textcolor{red}{y \to 1}}[/math]. Tutto questo si combina ed unisce nel concetto di [b]limite[/b], per cui diremo che [color=#ff0000]il limite di [math]\large{\textcolor{red}{y}}[/math][/color] [color=#0000ff]quando[/color] [math]\large{\textcolor{blue}{x \to 0}}[/math] [color=#ff0000]vale [math]\large{\textcolor{red}{1}}[/math][/color]. In simboli si usa la scrittura riportata sotto, dove al posto di [math]\large{y}[/math] si mette di solito l'espressione che permette di calcolarla:[br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{\lim_{x \to 0}}\ \textcolor{red}{\frac{x}{x-x^2}} = \textcolor{red}{1}}[/math][br][br][b][color=#38761d]E quando [math]\large{x=0}[/math]?!?[/color][/b][br]Avrai forse fatto caso al fatto che la tabella restituisce il valore [math]\large{y=1}[/math] nella riga corrispondente al valore vietato [math]\large{x=0}[/math].[br][br][b]Come?!? Dopo tanti anni a sudare sulle condizioni di esistenza alla fine è tutto falso e non servono a niente?!?[br][/b] [br]Ovviamente no. Geogebra, come tutti i fogli di calcolo, compie talvolta delle approssimazioni, per cui il valore della [math]\large{x}[/math] in quella riga [b]non è [/b] zero, ma qualcosa di estremamente simile (tipo [math]\large{0,000000000000001}[/math] che viene "sintetizzato" con il famigerato numero vietato. Se però vai nella cella corrispondente (che dovrebbe essere la [b][color=#0000ff]A12[/color][/b]) e inserisci a mano [b][color=#0000ff]0[/color][/b], vedrai che tutto torna a posto.[br]
[size=150][color=#ff0000]UN ALTRO ESEMPIO SIGNIFICATIVO[/color][/size][br]Proseguiamo studiando la nostra funzione [math]\large{y=\frac{x}{x-x^2}}[/math] nell'altro suo valore vietato, [math]\large{x=1}[/math][br][br]L'applet qui sotto si concentra sulla zona dell'asse [math]\large{x}[/math] "vicino" al valore di interesse, che è marcato da una linea rossa a sottolineare che la funzione NON potrà assumere questo valore.[br][br]Compila la tabella seguendo il procedimento visto prima e studia i risultati della funzione per [math]\large{x=0,90}[/math], [math]\large{x=0,91}[/math]... fino a [math]\large{x=1,10}[/math]. [br]
Osserviamo anche in questo caso l'andamento che si delinea. [color=#ff0000]La prima cosa che notiamo è che abbiamo due comportamenti diversi per le [math]\large{x}[/math] "prima" di [math]\large{x=1}[/math], cioè quelle più piccole di quel valore, e quelle "dopo" o più grandi[/color]. Vediamo un caso alla volta. [br][br][b][color=#0000ff]Risultati per le [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] più piccole di [math]\large{\textcolor{blue}{1}}[/math][/color][/b][br][color=#0000ff]Partendo da [math]\large{x=0,90}[/math] ed aumentando otteniamo risultati sempre grandi[/color]. Possiamo dedurre che considerando valori della [math]\large{x}[/math] ancora più simili a [math]\large{1}[/math], ad esempio [math]\large{0,9999}[/math], otterremo risultati ancora maggiori. Dato che possiamo avvicinarci [i]senza limiti[/i] al valore [math]\large{x=1}[/math] [i]senza[/i] raggiungerlo (ad esempio considerando [math]\large{x = 0,9999999}[/math], poi [math]\large{x= 0,999999999999}[/math] etc.), [b][color=#0000ff]otterremo risultati [i]illimitatamente[/i] grandi. Il risultato a cui tendono le [math]\large{y}[/math] non è quindi un numero, ma [i]una quantità indefinita ed illimitatamente grande[/i][/color][/b]. Una quantità di questo tipo viene rappresentata in matematica dal simbolo di infinito, cioè [math]\large{\infty}[/math]. In particolare in questo caso il risultato si avvicinerà a [math]\large{+\infty}[/math]. [br][br]Abbiamo quindi che [color=#0000ff]quando la [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] tende a [math]\large{\textcolor{blue}{1}}[/math][/color], [color=#ff0000]la corrispondente [math]\large{\textcolor{red}{y}}[/math] tende a [math]\large{\textcolor{red}{+\infty}}[/math][/color].[br][br][b][color=#0000ff]ATTENZIONE! In questo caso il comportamento riguarda solo l'avvicinamento [math]\large{\textcolor{blue}{x \to 1}}[/math] quando le [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] si avvicinano attraverso valori MINORI di [/color][/b][math]\large{\textcolor{blue}{1}}[/math]: osservando il grafico puoi intuire che quando ci avviciniamo considerando valori MAGGIORI la [math]\large{y}[/math] tenderà a [math]\large{- \infty}[/math]. [b]Bisogna quindi distinguere i due casi, e lo si fa definendo i concetti di limite destro e limite sinistro.[/b][br][br]In questo momento ci stiamo avvicinando a [math]\large{x=1}[/math] considerando numeri [b][color=#0000ff]più piccoli[/color][/b], stiamo considerando quindi punti che sul piano sono [color=#0000ff][b]alla [i]sinistra[/i][/b][/color] del valore in esame. Si parla quindi di [color=#0000ff][b]limite sinistro[/b][/color], e l'avvicinamento di questo tipo è rappresentato dalla scrittura [math]\large{x \to 1^{-}}[/math], dove il segno [math]\large{-}[/math] "ad esponente" indica appunto che stiamo considerando valori [b][color=#0000ff]MINORI[/color][/b] di [math]\large{1}[/math]. Il risultato che abbiamo ottenuto si sintetizza quindi nella scrittura[br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{\lim_{x \to 1^-}} \textcolor{red}{\frac{x}{x-x^2}} = \textcolor{red}{+ \infty}}[/math][br][br][b][color=#ff0000]Risultati per le [math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math] più grandi di [math]\large{\textcolor{red}{1}}[/math][/color][/b][br]Osservando la tabella ed grafico, possiamo ragionare per analogia a quanto appena detto e definire il limite sinistro, cioè per [math]\large{x \to 1^{+}}[/math], della funzione, osservando che [color=#0000ff]quando la [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] tende a [math]\large{\textcolor{blue}{1+}}[/math][/color], [color=#ff0000]la corrispondente [math]\large{\textcolor{red}{y}}[/math] tende a [math]\large{\textcolor{red}{-\infty}}[/math][/color].[br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{\lim_{x \to 1^+}} \textcolor{red}{\frac{x}{x-x^2}} = \textcolor{red}{- \infty}}[/math][br][br][size=150][color=#ff0000]DUE NOTE PER CONCLUDERE[br][/color][/size]Abbiamo visto in quest'ultimo esempio che [b]la nostra funzione quando [math]\large{x \to 1}[/math] ha due comportamenti diversi a seconda che la [math]\large{x}[/math] si avvicini da destra o da sinistra. La funzione quindi non ha un comportamento unico vicino a [math]\large{1}[/math], non tende ad un unico valore[/b]. Per questo motivo diciamo che in questo caso [b][color=#ff0000]esistono il limite destro ed il limite sinistro, ma poiché essi tendono a due valori diversi NON esiste il limite globale della funzione per [math]\large{x \to 1}[/math][/color][/b].[br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{\lim_{x \to 1^-}} \textcolor{red}{\frac{x}{x-x^2}} = \textcolor{red}{+ \infty}}[/math][br][math]\Large{\textcolor{blue}{\lim_{x \to 1^+}} \textcolor{red}{\frac{x}{x-x^2}} = \textcolor{red}{- \infty}}[/math][br][math]\Large{\nexists \textcolor{blue}{\lim_{x \to 1}} \textcolor{red}{\frac{x}{x-x^2}} }[/math][br][br]La seconda annotazione riguarda il fatto che puoi tornare all'ultima applet che abbiamo utilizzato ed inserire l'espressione della funzione [b]y=x/(x-x^2)[/b] nella barra di inserimento in basso, che te ne mostrerà il grafico e confermerà l'andamento che ci ha fatto intuire il limite.
Visualizzare e studiare la velocità di un fenomeno
Fino ad ora ci siamo occupati di funzioni che descrivono il valore di una grandezza (ad esempio il mio patrimonio) in funzione di un'altra (ad esempio il tempo che passa). [br][br]Può essere interessante [b]visualizzare come cambia [/b]la grandezza che stiamo esaminando, in particolare [b]la velocità [/b]con cui cambia. In altre parole [b]potrebbe essere interessante ed utile tracciare e studiare il grafico della [u]velocità[/u] dell'output della funzione[/b].[br][br]Il grafico seguente mostra il mio patrimonio, espresso in migliaia di euro, al passare dei mesi. [b]Con quale velocità cambia il mio patrimonio mese per mese?[/b] [br][br]Sei in grado di visualizzare questa velocità su un grafico?[br][br]Ci aiuta il fatto che la velocità cambia nei vari tratti in cui è definita la funzione, ma in ognuno di essi è costante.[b] Da cosa è definita?[/b]
[color=#ff0000]Abbiamo costruito un nuovo grafico, e quindi una nuova funzione, che mese per mese indica la [b]velocità[/b] con cui sta cambiando il nostro patrimonio. [/color][br][br]La funzione originale che descrive il patrimonio è costituita da tratti rettilinei, quindi abbiamo raggiunto l'obiettivo in modo abbastanza semplice: in ogni tratto è possibile calcolare la velocità con cui cambia il patrimonio tramite il coefficiente angolare della retta corrispondente. Per ogni tratto [math]\large{i}[/math], dove in questo caso [math]\large{i}[/math] varia da [math]\large{1}[/math]a [math]\large{4}[/math], la velocità di quel tratto è data da[br][br][math]\Large{v_€(t_i) = \frac{\mbox{variazione di patrimonio}}{\mbox{tempo trascorso}}= \frac{\Delta €_i}{\Delta t_i} = \frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}=m_i }[/math][br][br][color=#ff0000]UN CASO PIÙ GENERALE[br][/color]L'esempio che abbiamo visto era piuttosto semplice, perchè la velocità con cui variava il nostro output era costante e poteva essere calcolata con una formula elementare. [b]È importante ricordare che seguiremo questo approccio, che è l'unico che conosciamo, per affrontare anche situazioni più complesse.[/b] Ovviamente sarà necessario adattarlo alla nuova situazione. [br][br]Come cambia la velocità di guadagno nel caso del grafico sotto? [br][br]Rispondi alle domande che ti vengono poste nel modo più completo possibile, ti servono per [i]indagare [/i]la situazione e comprenderne gli elementi, poi passa alla fase successiva per ricevere ulteriori suggerimenti.
Abbiamo intuito che la [b]velocità con cui cambia l'output di una funzione [/b]è associata all'[b]inclinazione del grafico della funzione [/b]stessa. A sua volta questa inclinazione è misurata dal [b]coefficiente angolare della retta tangente alla curva in ogni suo specifico punto[/b].[br][br]In questo modo è possibile [b]tracciare un grafico ad ogni valore [math]\large{x}[/math] indichi [/b]quanto vale il corrispondente coefficiente angolare, cioè [b]come cambia la velocità dell'output[/b]. [br][br]Di fatto [b][color=#ff0000]stiamo costruendo una nuova funzione[/color][/b]: mentre quella originale ad ogni valore [math]\large{x}[/math] associa un certo output (nel nostro caso il patrimonio), questa nuova funzione, [color=#ff0000][b]strettamente associata alla prima, restituisce la velocità con cui tale output sta cambiando[/b][/color]. Questa nuova funzione si chiama [b][color=#ff0000]funzione derivata[/color][/b], probabilmente perchè il suo andamento (e come vedremo anche il calcolo della sua espressione) [i]deriva[/i] da quello della funzione a cui fa riferimento.[br][br]Nei prossimi capitoli vedremo come poter [b]calcolare[/b] in modo diretto il valore di questo coefficiente angolare, ed ottenere quindi punto per punto il risultato della funzione derivata.
Gli integrali indefiniti
La prima definizione che diamo di integrale è quella di [b][color=#ff0000]integrale indefinito[/color][/b], che è collegata al concetto di derivata e più precisamente è la sua operazione inversa. [br][br][color=#ff0000][b]Definiamo [i]primitiva[/i] della funzione [math]\large{f(x)}[/math] la funzione [math]\large{g(x)}[/math] tale per cui [math]\large{g'(x)=f(x)}[/math].[/b][/color] [br][br]Per trovare una primitiva della funzione [math]\large{f(x)}[/math] ("[i]una[/i]", perché vedremo che ce ne sono infinite), dobbiamo trovare una funzione che derivata dia [math]\large{f(x)}[/math].[br][br][color=#0000ff][b]ESEMPIO 1: Una primitiva di [math]\large{\textcolor{red}{f: 6x-7}}[/math] è [math]\large{\textcolor{blue}{g: 3x^2-7x}}[/math], perché se calcolo la derivata di [math]\large{\textcolor{blue}{g(x)}}[/math] ottengo [math]\large{\textcolor{red}{f(x)}}[/math].[/b][/color][br][br]Questa relazione tra le due funzioni si scrive con la seguente simbologia:[br][br][math]\large{\int (\textcolor{red}{6x-7}) \textcolor{#007700}{dx} = \textcolor{blue}{3x^2-7x}\textcolor{#007700}{+c} }[/math][br][br]Il simbolo [math]\large{\int}[/math] è una stilizzazione di una "S" che sta per somma - vedremo che integrali e somme sono strettamente legati. Capiremo più avanti il significato del termine [math]\large{\textcolor{#007700}{dx}}[/math] (si legge "de x") per cui viene moltiplicata la funzione dentro all'integrale.[br][br]Per quanto riguarda invece la costante [math]\large{\textcolor{#007700}{c} }[/math] sommata al risultato, è dovuta la fatto che se sommiamo un numero costante ad una primitiva, la sua derivata identica, e quindi anche la nuova funzione è una primitiva dell'originale.[br][br][color=#0000ff][b]ESEMPIO 1b: anche [math]\large{\textcolor{blue}{h(x) = g(x)+5 = 3x^2-7x+5}}[/math] è una primitiva di [math]\large{\textcolor{red}{f: 6x-7}}[/math], perché se ne calcolo la derivata il [math]\large{\textcolor{blue}{5}}[/math] sparisce ed ottengo la stessa derivata di prima.[/b][/color][br][br]Data una primitiva di [math]\large{\textcolor{red}{f(x)}}[/math], ne ottengo quindi infinite altre sommando ad essa un qualsiasi numero costante. [b][color=#ff0000]L'integrale indefinito di una funzione è quindi l'insieme di tutte le sue infinite primitive[/color][/b] - è proprio per questo che si dice "indefinito". [br][br]Rivediamo ed approfondiamo questi concetti nella prossima animazione.