[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/a5yk9hab][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACUAAAA2CAYAAABA3FA2AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAACpSURBVGhD7dkxCsJAFEXR/wZiJWJhIW7MUnApriwLEFdhZy0iiN8M2tjdLr94h8wEUt3yQaRhyMiMiH7mpulRv0vU/Gm/dymOohxFOYpyFOUoylGUoygdd9tye0qv1upFTUVenoSjKEdRjqIcRTmKchTlKErX/abgyLvUG3nKs5cn4ijKUZSjKEdRjqIcRRWN6j9six2dxkMu9YiV7t+Ps8l45iJu73V8AE/fHKUjFbbZAAAAAElFTkSuQmCC[/img][/url][/td][td][size=50] this activity is a page of [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][br] [url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt][color=#0000ff][u][i][b]elliptic functions & bicircular quartics & . . .[/b][/i][/u][/color][/url]([color=#ff7700][i][b]05.08.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][size=85][i][color=#ff00ff][right]translation is in progress[/right][/color][/i][/size]

[size=85][b][i][u][color=#ff7700]Bicircular quartics[/color][/u][/i][/b] are simple to characterize in terms of [b][i][color=#0000ff]möbius geometry[/color][/i][/b]:[br]These [b][i][color=#ff7700]quartics[/color][/i][/b] have [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]foci[/color][/i][/b], coincident ones included.[br][table][tr][td] [b](1)[/b] [/td][td][b][color=#980000]4[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]conzyklic[/color][/i][/b] , pairwise different [b][i][color=#00ff00]foci[/color][/i][/b].[br]The [size=85][b][i][color=#ff7700]quartic[/color][/i][/b][/size] has [size=85][b][color=#980000]4[/color][/b][/size] pairwise [b][i][color=#0000ff]orthogonal[/color][/i][/b] [b][i][color=#e69138]symmetry[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]circles[/color][/i][/b], one of them imaginary.[br][size=85]By a [b][i][color=#0000ff]Möbius transformation[/color][/i][/b] one reaches that the [b][i][color=#e69138]axes[/color][/i][/b] and [b][i][color=#e69138]the unit circle[/color][/i][/b] are [b][i][color=#e69138]symmetry circles[/color][/i][/b],[/size][br]and the [b][i][color=#00ff00]foci[/color][/i][/b] lie on the [math]x[/math]-axis: [math]+f,-f,\frac{1}{f},-\frac{1}{f}[/math] with [math]f\in\mathbb{R}[/math] and [math]f>1[/math] (as a rule)[/td][/tr][tr][td] [b](2)[/b] [/td][td][b][color=#980000]4[/color][/b] different [b][i][color=#00ff00]foci[/color][/i][/b], which are mirror images of [b][color=#a61c00]2[/color][/b] pairs on [size=85][b][color=#a61c00]2[/color][/b][/size] [b][i][color=#0000ff]orthogonal[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]circles[/color][/i][/b].[br]By a [b][i][color=#0000ff]Möbius transformation[/color][/i][/b] one receives the axes as [b][i][color=#e69138]symmetry[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]circles[/color][/i][/b][br]and one can receive [math]+f,-f,\frac{i}{f},-\frac{i}{f}[/math] with [math]f\in\mathbb{R}[/math] and [math]f>1[/math] for the [b][i][color=#00ff00]focal points[/color][/i][/b].[br][/td][/tr][tr][td] [b] (3)[/b][/td][td][b][color=#980000]2[/color][/b] single and one double [b][i][color=#00ff00]focal points[/color][/i][/b]. The axes can be chosen as [b][i][color=#e69138]symmetry axes[/color][/i][/b],[br]the [b][i][color=#00ff00]foci[/color][/i][/b] on the [math]x[/math]-axis: [math]+f,-f[/math] and 0 as double [b][i][color=#00ff00]focal point[/color][/i][/b][b][i][color=#00ff00][/color][/i][/b], with [math]f\ne0,f\in\mathbb{R}[/math]; [br]in principle one can be chosen [math]f=1[/math]. Mirrored at the [b][i][color=#e69138]unit circle[/color][/i][/b] one receives a [b][i][color=#e69138]center cone section[/color][/i][/b].[br][/td][/tr][tr][td] [b](4)[/b][/td][td]A single and a triple [b][i][color=#00ff00]focal point[/color][/i][/b]: if the latter is chosen as [math]\infty[/math], the [b][i][color=#ff7700]quartic[/color][/i][/b] is a [b][i][color=#ff7700]parabola[/color][/i][/b].[/td][/tr][tr][td] [b](5)[/b][/td][td]Two double [b][i][color=#00ff00]foci[/color][/i][/b] or one [b][i][color=#00ff00]quadruple focal point[/color][/i][/b]: the [size=85][b][i][color=#ff7700]quartic[/color][/i][/b][/size] is the product of two [br]non-touching or two touching [b][i][color=#ff0000]circles[/color][/i][/b].[/td][/tr][/table][br][/size][size=85]We try to carry out and justify the [b][i][color=#0000ff]directric[/color][/i][/b]-[b][i][color=#ff0000]circle[/color][/i][/b] construction for the cases [b](1)[/b] - [b](3)[/b].[br]At several places we have regretted that for these basic constructions we have not found computational[br]justifications for these basic constructions. [br]We lack the appropriate comprehensible [b][i][color=#9900ff]calculus[/color][/i][/b] for these [b][i][color=#ff0000]circular geometric [/color][/i][/b]statements.[br]Attempts to get light into the dark with [b][i][color=#980000]geogebra[/color][/i][/b]-[b]CAS[/b] failed - mostly because of the unclear formulas.[br]We provide [b][color=#0000ff]geometric[/color][/b] reasons here.[/size]

[size=85]Given in the applet are a [b][i][color=#00ff00]focal point[/color][/i][/b] [b][color=#00ff00]f[/color][/b], a [b][i][color=#ff7700]vertex[/color][/i][/b] [b][color=#ff7700]s[/color][/b][/size][size=85] and [math]\delta\in\left\{-1,0,1\right\}[/math] [/size][size=85]and for the cases[/size][size=85] [b](1)[/b] - [b](3)[/b].[br][/size][size=85]The implicit equation of the [b][i][color=#ff7700]bicircular quartic[/color][/i][/b] is then[/size][list][*][size=85][math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+\delta=0[/math][br][/size][/*][/list][size=85]For the calculation of the real coefficients [math]A_x,B_y[/math] [/size][size=85]the real function[/size][size=85] [math]\kappa\left(u\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(u^2+\frac{\delta}{u^2}\right)[/math] is used:[br][/size][list][*][math]A_x=\kappa\left(s\right)[/math] [size=85]and [/size][math]B_x=\frac{\kappa\left(f\right)\cdot\kappa\left(s\right)-\delta}{\kappa\left(f\right)-\kappa\left(s\right)}[/math][br][/*][/list][size=50][b][i][u][color=#cc0000]Remark: [/color][/u][/i][/b]in [b][i][color=#980000]geogebra[/color][/i][/b] real numbers and [b][i][color=#ff0000]points[/color][/i][/b] on the [math]x[/math]-axis are considered as different objects;[br]therefore, in [/size][size=50][b][i][color=#980000]geogebra[/color][/i][/b][/size][size=50], for example, must be calculated [math]A_x=\kappa\left(x\left(s\right)\right)[/math] [/size][size=50]with the given [b][i][color=#ff0000]point[/color][/i][/b] [/size][size=50] [b][color=#ff7700]s[/color][/b] [math]=s+0\cdot i[/math].[br][size=85]On the other hand, from the coefficients [math]A_x,B_y[/math] one calculates again the [b][i]vertices[/i][/b] [br][/size][/size][list][*][size=85]on the [math]x[/math]-axis:[/size] [math]s=s_x=\pm\sqrt{A_x\pm\sqrt{A_x^2-\delta}}[/math][size=85], on the [math]y[/math]-axis[/size] [math]s_y=\pm i\cdot\sqrt{B_y\pm\sqrt{B_y^2-\delta}}[/math] [size=50](both calculated in real terms)[/size][br][size=85]and on the [b][i][color=#e69138]unit circle[/color][/i][/b]: [math]s_E=\mp\sqrt{\frac{B_y-\frac{1+\delta}{2}}{B_y-A_x}}\pm i\cdot\sqrt{\frac{A_x-\frac{1+\delta}{2}}{A_x-B_y}}[/math] [size=50](both calculated in real).[/size][br][/size][/*][/list][size=50][size=85]The [b][i][color=#00ff00]focal points[/color][/i][/b] are calculated [b][i][color=#0000ff]complex[/color][/i][/b] with [math]Q=\frac{A_x\cdot B_y-\delta}{B_Y-A_x}[/math]: [math]f=\pm\sqrt{Q\pm\sqrt{Q^2-\delta+0\cdot i}}[/math]. [br]The [b][i][color=#00ff00]focal points[/color][/i][/b] on the [b][i][color=#e69138]unit circle[/color][/i][/b] and on the [math]y[/math]-axis are also captured by the [b][i][color=#0000ff]complex[/color][/i][/b] calculation.[br][b][i][color=#76a5af]Confocal[/color] [color=#ff7700]bicircular quartics[/color] [/i][/b]can be obtained by specifying [math]\tilde{A_x}[/math], [br]or by a [b][i][color=#ff7700]vertex[/color][/i][/b] [math]\tilde{s}[/math] on the [math]x[/math]-axis ([math]\tilde{A_x}=\kappa\left(\tilde{s}\right)[/math]) and [math]\tilde{B_y}=\frac{Q\cdot \tilde{A_x}-\delta}{Q-\tilde{A_x}}[/math].[/size][/size]

[size=85]Falls alle [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] auf einem gemeinsamen [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] liegen (Fälle [b](1)[/b], [b](3)[/b] und [b](4)[/b][/size]), [size=85]so bezeichnen wir [br]diesen [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] als "Hauptachse"[/size].[br][b][i][u][color=#980000]Grundeigenschaft der Leitkreise:[/color][/u][/i][/b][br][size=85]Man zeichne einen der [b][color=#cc4125]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] (im Folgenden mit [b][color=#00ff00]f[/color][/b] bezeichnet) und eine der [b][i][color=#e69138]Symmetrien[/color][/i][/b] einer [br][b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color][/i][/b] aus. ([size=50]Die [b][i][color=#ff7700]Hauptachsensymmetrie[/color][/i][/b] ausgenommen, [math]\hookrightarrow[/math] [b][i][u][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/vauwyuaw]Wellen[/url][/color][/u][/i][/b] zeigt eine Konstruktionsmöglichkeit für diesen Fall[/size] )[br]Zu der [b][i][color=#e69138]Symmetrie[/color][/i][/b] gehört eine Schar von die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] [b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b].[br][list][*]Spiegelt man den [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] [b][color=#00ff00]f[/color][/b] an den [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b] der Schar, so liegen die Spiegelpunkte auf einem [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b], [br]dem [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] bezüglich [b][color=#00ff00]f[/color][/b].[/*][*]Zu jedem [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] [b][color=#00ffff]q[/color][/b] auf diesem [b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b] gehört genau ein [size=85][b][i][color=#999999]doppelt-berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size] der Schar [br]mit der genannten Eigenschaft.[br][/*][/list]Diese Eigenschaft trifft auch für die [b][i][color=#ff7700]Tangentialkreise[/color][/i][/b] an [b][i][color=#ff7700]Kegelschnitte[/color][/i][/b] ([b][i][color=#999999]Tangenten[/color][/i][/b]) zu, also für die [b][i][color=#999999]berührenden[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b],[br]welche durch den doppelten oder 3-fachen [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] gehen, obwohl keine [b][i][color=#e69138]Symmetrie[/color][/i][/b] vorliegt. [br][br]Vorgegeben: der [b][i][color=#00ff00]Brennpunkt[/color][/i][/b] [b][color=#00ff00]f[/color][/b] auf der [math]x[/math]-Achse, ein [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][color=#ff7700] s[/color][/b] auf der [math]x[/math]-Achse sowie [math]\delta\in\left\{-1,0,-1\right\}[/math].[br]Die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [math]f,f'=-f,f''=\frac{\sqrt{\delta}}{f},f'''=\frac{-\sqrt{\delta}}{f}[/math] liegen in [b][i][color=#0000ff]Normalform[/color][/i][/b], [b][i][u][color=#cc0000]Scheitelkreise[/color][/u][/i][/b], [/size][size=85]symmetrisch zur [math]y-[/math]Achse[/size][size=85][br] [math]cs=x^2+y^2-s^2=0[/math] und [math]cs'=x^2+y^2-\frac{\delta}{s^2}=0[/math] . [br]Für [math]\delta=-1[/math] ist der [b][color=#cc0000]2[/color][/b]. [/size][size=85][b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b][/size][size=85] imaginär, für [math]\delta=0[/math] ist es der Ursprung als [b][i][color=#ff0000]Punktkreis[/color][/i][/b]. [br][b][color=#00ff00]f[/color][/b] gespiegelt an diesen beiden [b][i][color=#ff0000]Kreisen[/color][/i][/b] liefert die reellen [b][i][color=#6d9eeb]Punkte[/color][/i][/b] [math]qL_y=\frac{s^2}{f}[/math] und [math]qL'_y=\frac{\delta}{f\cdot s^2}[/math] auf der [math]x[/math]-Achse.[br]Da der "[b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b]" aus Symmmetriegründen [math]x[/math]-achsensymmetrisch sein muß, ergibt sich mit diesen Randpunkten [br]die "[b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b]"-Gleichung mit Mittelpunkt: [math]mcL=\frac{1}{2\cdot f}\cdot\left(s^2+\frac{\delta}{s^2}\right)[/math] und Radius: [math]rcL=\frac{1}{2\cdot f}\cdot\left(s^2-\frac{\delta}{s^2}\right)[/math]:[br][/size][list][*][math]cL=\left(x-mcL\right)^2+y^2-rcL^2=x^2-\frac{2}{f}\left(s^3+\frac{\delta}{s^2}\right)\cdot x+y^2+\frac{\delta}{f^2}=0[/math][br][/*][/list][size=85]Für [math]\delta=1[/math] liegen [math]f''[/math] und [math]f'''[/math] spiegelbildlich zu [math]cL[/math]: [math]\left(\frac{1}{f}-mcL\right)\cdot\left(-\frac{1}{f}-mcL\right)-rcL^2=0[/math].[br]Für [math]\delta=0[/math] berührt der [math]cL[/math] die [math]y[/math]-Achse in [math]0=f''=f'''[/math].[br]Für [math]\delta=-1[/math] geht [math]cL[/math] durch [math]f'',f'''=\pm\frac{i}{f}[/math], wovon man sich durch Einsetzen überzeugt.[br][br]Es sei [b][color=#00ffff]q[/color][/b] ein Punkt auf [math]cL[/math] und [math]t_q[/math] die [b][i][color=#999999]Tangente[/color][/i][/b] an [math]cL[/math] durch [/size][size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85] und [math]mcw[/math] der [b][i][color=#999999]Tangentenschnittpunkt[/color][/i][/b] mit der [math]y[/math]-Achse.[br]Der [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] [math]cw[/math] um [math]mcw[/math] durch [/size][size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85] geht für [math]\delta=1[/math] durch [math]f'',f'''[/math], berüht für [math]\delta=0[/math] die [math]x[/math]-Achse in [math]0[/math],[br]und liegt für [math]\delta=-1[/math] im [b][i][color=#ff0000]hyperbolischen Kreisbüschel[/color][/i][/b] um [math]f'',f'''[/math].[br]Der "[b][i][color=#ff0000]Brennkreis[/color][/i][/b]" [math]cw[/math] ist [b][i][color=#0000ff]orthogonal [/color][/i][/b]zum "[/size][size=85][b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b][/size][size=85]" und zur [/size][size=85][b][i][color=#999999]Tangente [/color][/i][/b][/size][math]t_q[/math][size=85].[br][math]t_q[/math] gespiegelt an der [i][b][color=#999999]Mittelsenkrechten[/color][/b][/i] [math]m_{fq}[/math] [size=85]von [b][color=#00ff00]f[/color][/b] und [b][color=#00ffff]q[/color][/b] ergibt eine [i]Gerade[/i] [math]t_f[/math] durch [b][color=#00ff00]f[/color][/b].[br]Der [/size][/size][size=85]"[b][i][color=#ff0000]Brennkreis[/color][/i][/b]"[/size][size=85][size=85] [math]cw'[/math] um den Schnittpunkt von [math]t_f[/math] mit der [math]y[/math]_Achse durch [/size][/size][size=85][size=85][b][color=#00ff00]f[/color][/b][/size][/size][size=85][size=85] ist [/size][/size][size=85][b][i][color=#0000ff]orthogonal[/color][/i][/b][/size][size=85][size=85] zur [/size][/size][size=85][size=85][i]Geraden[/i][/size][/size][size=85][size=85] [math]t_f[/math].[/size][br]Der [b][i][color=#cc0000]Schnittpunkt[/color][/i][/b] [math]pL_y[/math] der [/size][size=85][size=85][i]Geraden[/i][/size][/size][size=85] [math]t_q,t_f[/math] ist Mittelpunkt eines [b][i][color=#ff0000]Kreises[/color][/i][/b] [math]c_{qf}[/math], der die "[b][i][color=#ff0000]Brennkreise[/color][/i][/b]" [math]cw,cw'[/math] in [/size][size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85] bzw. in [/size][size=85][size=85][b][color=#00ff00]f[/color][/b][/size][/size][size=85] berührt.[br]Falls die [size=85][size=85][i]Geraden[/i][/size][/size] parallel sind, haben die [size=85]"[b][i][color=#ff0000]Brennkreise[/color][/i][/b]"[/size] in [size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85] und in [/size][size=85][size=85][b][color=#00ff00]f[/color][/b][/size][/size] die gemeinsame Tangente [math]c_{qf}[/math].[br][/size][size=50]Übrigens: falls dies für jedes [b][color=#00ffff]q[/color][/b] auf dem "[b][i][color=#0000ff]Leitkreis[/color][/i][/b]" [math]cL[/math] der Fall ist, ist die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] eine [b]CASSINI[/b]-Kurve[/size] [size=85] [math]\hookrightarrow[/math] [b][u][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/dtewjvgc]CASSINI[/url][/color][/u][/b].[br]Der [b][i][color=#999999]Mittelkreis[/color][/i][/b] [math]cdb_y[/math] von [math]cw[/math] und [math]cw'[/math] ist [/size][size=85][b][i][color=#0000ff]orthogonal[/color][/i][/b][/size][size=85] zu [math]c_{fq}[/math]. [br]Gespiegelt an ihm werden die [/size][size=85]"[b][i][color=#ff0000]Brennkreise[/color][/i][/b]"[/size][size=85] [math]cw[/math] und [math]cw'[/math], sowie [/size][size=85][b][color=#00ffff]q[/color][/b][/size][size=85] und [/size][size=85][size=85][b][color=#00ff00]f[/color][/b][/size][/size][size=85] vertauscht.[br]Falls [math]cw[/math] und [math]cw'[/math] sich schneiden, ist [math]cdb_y[/math] [b][i][color=#0000ff]winkelhalbierender [/color][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] von [math]cw,cw'[/math], [br]und ein [math]y[/math]-achsensymmetrischer [b][i][color=#999999]doppelt berührender[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color][/i][/b].[br]Die Gleichungen der [/size][size=85][size=85]"[b][i][color=#ff0000]Brennkreise[/color][/i][/b]"[/size][/size][size=85] und die Koordinaten der [b][i][color=#ff7700]Schnittpunkte[/color][/i][/b] rechnerisch zu ermitteln, ist uns nicht gelungen.[br]Wären in [b][i][color=#980000]geogebra[/color][/i][/b] [b][i][color=#9900ff]elliptische Funktionen[/color][/i][/b] implementiert, so ließen sich die [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] und ihre [b][i][color=#ff7700]Punkte[/color][/i][/b] [br]in [b][i]Parameterdarstellung[/i][/b] untersuchen.[/size]