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[url=https://mategnu.de/m/rp1.pdf][img]https://mategnu.de/bilder/modul_1/reihenuebersicht/m1ph3.png[/img][/url][br][br][size=150][b][color=#ff7700]Leitfrage zu Phase 3:[/color][/b][/size][br]Wie bestimmt man die Geschwindigkeit zum ZeitPUNKT [math]x=3s[/math]?

[size=150][b][color=#ff7700]Lösung: Keine direkte Berechnung, sondern Näherung[/color][/b][/size][br]Die direkte Berechnung mit dem Differenzenquotienten gelingt nicht. [br]Im digitalen Arbeitsblatt [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][i]M1.I.3 AB Näherung momentane Geschwindigkeit[/i] bestimmen die SuS mithilfe des [i]Applets Näherung Gepard[/i] die [b]mittleren Geschwindigkeiten[/b] in der Nähe eines Zeitpunkts [math]x_0[/math] mit [b]immer kleineren Zeitintervallen[/b] und [b]nähern[/b] so die [b]momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt [math]x_0[/math][/b] von beiden Seiten an. [br]Wichtig für die algebraische Erarbeitung ist es zu den berechneten momentanen Geschwindigkeiten die [b]Differenzenquotienten [/b]zu notieren. Dazu dienen die Tabellen in der Arbeitsblatt-Ergänzung [img]https://mategnu.de/bilder/icons/AB_30.jpg[/img][i]M1.I.3 ABE Näherung momentane Geschwindigkeit[/i].

[size=150][b][color=#ff7700]Verbale Definition der Ableitung im Kontext[br][/color][/b][/size]Aus den Erkenntnissen der Reflexion kann nun der Begriff Ableitung an der Stelle [math]x_0[/math] formuliert werden:[br][br][url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2025/MaTeGnu_Kohorte_1_Modul_1_2025_Verstaendnisorientierung_in_der_Differentialrechnung.pdf#page=30][img]https://dms.nuw.rptu.de/mategnu/bilder/modul_1/folien/verbale_definition_ableitung_im_kontext_300.jpg[/img][/url]

[size=150][b][color=#ff7700]Reflexion: Vergleich der Annäherungen und Verbalisierung des Grenzwertprozesses[br][/color][/b][/size][br]Beim Vergleich beider Tabellen sollten [b]drei zentrale Erkenntnisse[/b] herausgearbeitet und anschließend festgehalten werden (statt [math]x_0[/math] und [math]v\left(x_0\right)[/math] können auch die konkreten Zahlenwerte notiert werden): [br][list][*] Je kleiner das Intervall [math][x;x_0][/math] wird, je näher also [math]x[/math] an [math]x_0=3s[/math] heranrückt, desto näher kommt die mittlere Geschwindigkeit [math]v_m[/math] dem Wert [math]v\left(x_0\right)=19,5\frac{m}{s}[/math].[/*] [br][*] [math]v_m[/math] kommt diesem Wert beliebig nahe.[/*] [br][*] Jede andere Annäherung an den Zeitpunkt [math]x_0[/math] führt zum selben Wert, das ist die [b]momentane Geschwindigkeit.[/b][/*][/list]

[b][size=150][color=#ff7700]Vorsicht bei den Sprechweisen zu Grenzprozessen[/color][/size][/b] [br]Auch in Schulbüchern finden sich häufig Sprechweisen, die zu Verständnisschwierigkeiten beitragen.[br]Nachfolgende Übersicht bezieht dies auf den Kontext Gepard.[br][br][url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2025/MaTeGnu_Kohorte_1_Modul_1_2025_Verstaendnisorientierung_in_der_Differentialrechnung.pdf#page=32][img]https://dms.nuw.rptu.de/mategnu/bilder/modul_1/folien/sprechweisen_grenzprozesse_300.jpg[/img][/url]

[size=150][b][color=#ff7700]Unterrichtsmaterial[/color][/b][/size][br]Digitales Arbeitsblatt: [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img] [color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/yfxh3pts]M1.I.3 AB Näherung momentane Geschwindigkeit[/url][/color] [br]oder nur Applet: [img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img] [color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/cxcswcs3#material/z9sf7ccm]M1.I.3 App Näherung Gepard[/url][/color]. [br]Dazu [b]jeweils [/b]Arbeitsblatt-Ergänzung: [img]https://mategnu.de/bilder/icons/AB_30.jpg[/img] [color=#0000ff][url=https://mategnu.de/m/1/ab/M1I3ABE.pdf]M1.I.3 ABE Näherung momentane Geschwindigkeit[/url][/color] [br]

[size=150][b][color=#ff7700]Zeitbedarf[/color][/b][/size][br]2h

[size=150][b][color=#ff7700]Übungen[/color][/b][/size][br][list][*]in bettermarks in [url=https://apps.bettermarks.com/tc/library/MaDEK10_de/book/fb5a46_DE_bettermarks_de]Grundlagen der Differentialrechnung[/url] [br]im Abschnitt 1.4 Die lokale Änderungsrate näherungsweise erstellen[/*][br][*] auf [url=https://o-mathe.de]o-mathe[/url] in Differentialrechnung / Ableitungen / Lokale Änderungsrate [/*][br][*] im [url=https://m2.net-schulbuch.de/].Net-Mathebuch[/url] Einführungsphase / Funktionen & Analysis / Ableitung / Lokale Änderungsrate[/*][br][*] in [url=https://ti-unterrichtsmaterialien.net/fileadmin/documents/Band9_TC_Sch%C3%BClermaterial.pdf]Calimero Schülerband 9[/url] [/*][br][*] in den Materialien der Multiplizierenden im Schulcampus.[/*][/list]