Vamos a desarrollar la demostración del teorema de la altura. Con esta actividad, se pretende desarrollar la competencia matemática del alumno. [b]La competencia matemática[/b] implica la capacidad de aplicar el razonamiento matemático y sus herramientas para describir, interpretar y predecir distintos fenómenos en su contexto.[br][br] Así también, la competencia matemática requiere de conocimientos sobre los números, las medidas y las estructuras, así como de las operaciones y las representaciones matemáticas, y la comprensión de los términos y conceptos matemáticos.[br][br] ¿Preparados para la demostración del teorema de la altura? ¡Allá vamos![br][br] El [b]teorema de la altura[/b] relaciona la [b]altura[/b] de un triángulo rectángulo con las [b]proyecciones de los catetos[/b] sobre la hipotenusa, por lo que permite [b]calcular la altura[/b] de un triángulo rectángulo conocidas estas proyecciones.[br][br] Pero más que aprender esta fórmula, te recomiendo que [b]aprendas el procedimiento de cómo llegar hasta ella[/b], ya que te resultará más fácil también para resolver los problemas.[br]Vamos a ver cómo es el procedimiento para llegar a esta fórmula.[br]Para entender el teorema de la altura, primero, debes que entender bien qué son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.[br][br] Partimos del siguiente triángulo rectángulo, colocado de forma que [b]la hipotenusa queda en la parte de abajo[/b]:[br][br][img]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/teorema-altura-y-cateto-1.png[/img][br][br]Donde:[br][br][list][*]El lado a es el [b]cateto mayor[/b][/*][*]El lado b es el [b]cateto menor[/b][/*][*]El lado c es la [b]hipotenusa[/b][/*][/list] [br] Si pusiéramos un foco de luz justo encima del triángulo, la sombra que proyecta el lado b sobre la hipotenusa corresponde a la proyección del cateto menor en la hipotenusa y sería el segmento de color verde en la hipotenusa, «n».[br][br] De la misma forma, la sombra que proyecta el lado «a» sombre la hipotenusa corresponde a la proyección del cateto mayor en la hipotenusa y sería el segmento de color azul en la hipotenusa «m».[br][br][img]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/teorema-altura-y-cateto-2.png[/img][br] [br] Por tanto, «n» es la proyección del cateto «b» en la hipotenusa y «m» es la proyección del cateto «a» en la hipotenusa. Ambas proyecciones están [b]separadas por una línea vertical[/b], que corresponde con la altura del triángulo rectángulo.[br][br] La altura separa al triángulo en otros dos triángulos rectángulos:[br][br][img]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/teorema-altura-y-cateto-3.png[/img][br][br] En ambos triángulos, que son semejantes, comparamos su relación entre el cateto menor y el cateto mayor:[br][br][img width=154,height=63]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/teorema-altura-y-cateto-6.png[/img][br][br] En el triángulo de la izquierda, el cateto menor es «n» y el cateto mayor es «h»:[br][br][img]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/teorema-altura-y-cateto-4.png[/img][br][br] En el triángulo de la derecha, el cateto menor es «h» y el cateto mayor es «m» (giro el triángulo 90º hacia la izquierda para que se vea más claro):[br][br][img]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/teorema-altura-y-cateto-5.png[/img][br][br] Comparamos ambas relaciones y nos queda:[br][br][img width=92,height=60]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/teorema-altura-y-cateto-7.png[/img][br][br] De donde podemos [b]despejar «h»[/b], que corresponde a la [b]altura del triángulo rectángulo original[/b].[br]Para ello, multiplicamos en cruz ambas fracciones, pasando cada denominador multiplicando al miembro contrario:[br][br][img width=87,height=27]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/teorema-altura-y-cateto-8.png[/img][br][br] Operamos en ambos miembros, quedando h² en uno de ellos:[br][br][img width=78,height=29]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/teorema-altura-y-cateto-9.png[/img][br][br] Y finalmente despejamos la altura, pasando el cuadrado como raíz al miembro contrario:[br][br][img width=99,height=29]https://ekuatio.com/wp-content/uploads/teorema-altura-y-cateto-10.png[/img][br][br] Donde llegamos por fin a la fórmula que relaciona la altura con las proyecciones de los catetos en la hipotenusa.[br][br] Lo que te debe quedar claro de este teorema es que para llega a su fórmula, comparamos la relación entre el [b]cateto menor y el cateto mayor de los dos triángulos en los que queda dividido por la altura[/b] el triángulo original.[br][br]Bibliografía:[br][br]ekuatio.com[br][br]