[right][color=#ff7700][color=#000000][color=#cc4125][color=#980000][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj]Möbius-Werkzeuge circle-tools[/url] (April 2019)[/size][/color][/color][/color][/color][/right][br][size=85]Diesen Satz findet man öfters unter den [color=#980000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon]gebra-Materialien[/b][/i][/color]:[br]Michael Borcherds [url=https://www.geogebra.org/m/YxfFVegt]seven Circles Theorem[/url][br]Zitat: "[color=#ff7700][i][b]Six circles are placed around the seventh. The three segments [br] (joining opposite points where circles touch) are concurrent.[/b][/i][/color]"[br]Oder: sonom, Michael Borcherds [/size][url=https://www.geogebra.org/m/EZGY4mrp][size=85]https://www.geogebra.org/m/EZGY4mrp[/size][br][/url][size=85]Auch auf [i][b]mathworld.wolfram[/b][/i] findet man Bilder zu diesem Satz[/size]: [size=85][url=http://mathworld.wolfram.com/SevenCirclesTheorem.html]http://mathworld.wolfram.com/SevenCirclesTheorem.html[/url][br][br]Eigentlich handelt es sich um einen Satz über [color=#0000ff][i][b]Kreise[/b][/i][/color]! Dass die Geraden durch diagonale Berührpunkte [i][b]konkurrent[/b][/i] sind, ist eine Folge davon, dass Geraden Kreise sind, die durch den gemeinsamen Punkt [math]\infty[/math] gehen![br]Es gilt nämlich:[br]Verbindet man irgendeinen Punkt [b]P[/b] der Ebene mit den diagonalen Berührpunkten durch je einen Kreis, so gehen diese 3 Kreise durch einen gemeinsamen 2. Punkt: sie liegen in einem Kreis-Büschel![br][br][color=#0000ff][i][b]Warum? [/b][/i][/color][br]Die 7-Kreise-Figur läßt sich allein mit [color=#ff7700][i][b]Kreis-Werkzeugen[/b][/i][/color] konstruieren. [br]Man beginne mit 2 sich in einem Punkt [color=#00ffff][i][b]BP[sub]1[/sub][/b][/i][/color] berührenden Kreisen[i][b] [color=#f1c232]k[sub]0[/sub][/color][/b][/i] und [color=#00ffff][i][b]k[sub]1[/sub][/b][/i][/color]. Auf [/size][size=85][size=85][i][b] [color=#f1c232]k[sub]0[/sub][/color][/b][/i][/size] wähle man 4 weitere Punkte [color=#ff00ff][i][b]BP[sub]2[/sub][/b][/i][/color] ... [color=#0000ff][i][b]BP[sub]5[/sub][/b][/i][/color].[br]Mit Hilfe der [color=#cc0000][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color] für sich berührende Kreise konstruiert man die Nachbarkreise [color=#ff00ff][i][b]k[sub]2[/sub][/b][/i] [/color]und [color=#00ff00][i][b]k[sub]3[/sub][/b][/i][/color], und zu diesen wieder die Nachbarkreise [color=#ff7700][i][b]k[sub]4[/sub][/b][/i][/color] und [color=#0000ff][i][b]k[sub]5[/sub][/b][/i][/color]. [br]Der fehlende 6.te Berührkreis [color=#ff0000][i][b]k[sub]6[/sub][/b][/i][/color] muss symmetrisch zu [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]k[sub]4[/sub][/b][/i][/color][/size] und [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]k[sub]5[/sub][/b][/i][/color][/size] liegen: da [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]k[sub]4[/sub][/b][/i][/color][/size] und [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]k[sub]5[/sub][/b][/i][/color][/size] den gemeinsamen Berührkreis [/size][size=85][size=85][i][b][color=#f1c232]k[sub]0[/sub][/color][/b][/i][/size] besitzen, muss ein Symmetriekreis von [/size][size=85][size=85][color=#ff7700][i][b]k[sub]4[/sub][/b][/i][/color][/size] und [/size][size=85][size=85][color=#0000ff][i][b]k[sub]5[/sub][/b][/i][/color][/size] orthogonal zu [/size][size=85][size=85][i][b][color=#f1c232]k[sub]0[/sub][/color][/b][/i][/size] sein. Damit findet man den 6. Berührpunkt [color=#ff0000][i][b]BP[sub]6[/sub][/b][/i][/color] und den 6. Berührkreis [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]k[sub]6[/sub][/b][/i][/color][/size].[br]Verwendet wurden nur [color=#0000ff][i][b]Kreis-Spiegelunge[/b][/i][i][b]n[/b][/i][/color]. Das [color=#980000][b]7 - Kreise - Theorem[/b][/color] ist also eine Aussage über [color=#0000ff][i][b]Kreisbeziehungen[/b][/i][/color] und daher ein [i][b]möbius-geometrische[/b][b]r[/b][/i] Sachverhalt, der "zufälliger Weise" auch einen [i][b]euklidischen Sachverhalt[/b][/i] beschreibt! [br]"Zufällig" meint: wählt man als Punkt [b]P[/b] den besonderen Punkt [math]\infty[/math], so sind die Diagonalen sich schneidende Geraden![br][br][color=#0000ff][i][b]Ein anderes Argument[/b][/i][/color]: Unter [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen[/b][/i][/color] gehen sich berührende Kreise in ebensolche über! [br]Eine [color=#ff7700][i][b]7 - Kreise - Figur [/b][/i][/color]wird daher durch [color=#0000ff][i][b]Möbiustransformationen [/b][/i][/color]auf ebensolche Figuren abgebildet! [br][br][/size]